Bài 3 (Trung bình – 2)
Đề bài:
Một xưởng dự định sản xuất \( x \) sản phẩm (trong khoảng \( 0 \le x \le 30 \)):
- Doanh thu: \[ R(x) = -2x^3 + 90x^2 + 200x. \]
- Chi phí: \[ C(x) = 50x^2 + 4000. \]
Hãy xác định số \( x \) để lợi nhuận \( P(x) = R(x) - C(x) \) đạt giá trị lớn nhất. Xét cả hai trường hợp \( x \) là số thực và \( x \) là số nguyên.
Lời giải chi tiết:
- Lập hàm lợi nhuận:
\[ P(x) = \bigl(-2x^3 + 90x^2 + 200x\bigr) - \bigl(50x^2 + 4000\bigr) = -2x^3 + 90x^2 + 200x - 50x^2 - 4000 = -2x^3 + 40x^2 + 200x - 4000. \]
- Tính đạo hàm:
\[ P'(x) = -6x^2 + 80x + 200. \] Giải \( P'(x)=0 \): \[ -6x^2 + 80x + 200 = 0 \;\Longrightarrow\; 6x^2 - 80x - 200 = 0. \] Áp dụng công thức bậc hai: \[ x = \frac{80 \pm \sqrt{80^2 - 4\cdot 6 \cdot(-200)}}{2\cdot 6} = \frac{80 \pm \sqrt{6400 + 4800}}{12} = \frac{80 \pm \sqrt{11200}}{12}. \] \(\sqrt{11200} \approx 105.9\). Có hai nghiệm: \[ x_1 \approx \frac{80 + 105.9}{12} \approx 15.49,\quad x_2 \approx \frac{80 - 105.9}{12} < 0 \ (\text{loại}). \]
- Kiểm tra cực đại:
\[ P''(x) = -12x + 80,\quad P''(15.49) < 0 \;\Rightarrow x=15.49 \text{ là cực đại}. \]
- So sánh giá trị tại biên \([0,30]\):
- \( P(0)=-4000\).
- \( P(30)\) âm.
Nên cực đại nằm trong (0,30) tại \( x\approx 15.49 \).
- Nếu \( x \) buộc là số thực: \( x \approx 15.49 \) cho \( P(x) \approx 1252 \).
Nếu \( x \) buộc là số nguyên: cần thử \( x=15 \) và \( x=16 \): \[ P(15) = -2(3375) +40(225) +200(15) -4000 = -6750 +9000 +3000 -4000 = 250, \] \[ P(16) = -2(4096) +40(256) +200(16) -4000 = -8192 +10240 +3200 -4000 = 56. \] Rõ ràng \( P(15)=250 \) là lớn hơn.
Đáp số:
- Số thực: \( x \approx 15.49 \), lợi nhuận \(\approx 1252\).
- Số nguyên: \( x=15 \), lợi nhuận \(\approx 250\).