Bài 4 (Khó – 1)

Đề bài:
Cho hàm doanh thu: \[ R(x) = 0.01x^3 + 500x - 2x^2, \] và chi phí bình quân (average cost) cho mỗi sản phẩm: \[ G(x) = 3x + 100 + \frac{5000}{x}. \] Tổng chi phí khi sản xuất \( x \) sản phẩm: \[ C(x) = x \cdot G(x) = 3x^2 + 100x + 5000. \] Biết rằng xưởng chỉ có khả năng sản xuất tối đa 200 sản phẩm (tức \( 1 \le x \le 200 \)). Hãy tìm \( x \) để tối đa hoá lợi nhuận \[ P(x) = R(x) - C(x). \]

Lời giải chi tiết:

1. Hàm lợi nhuận:
   \[ P(x) = \bigl(0.01x^3 + 500x - 2x^2\bigr) \;-\;\bigl(3x^2 + 100x + 5000\bigr) = 0.01x^3 + 500x - 2x^2 - 3x^2 - 100x - 5000 = 0.01x^3 + 400x - 5x^2 - 5000. \]
2. Tính đạo hàm:
   \[ P'(x) = 0.03x^2 + 400 - 10x. \] Giải \( P'(x)=0 \): \[ 0.03x^2 - 10x + 400 = 0. \] Nhân 100 để tiện: \[ 3x^2 - 1000x + 40000 = 0. \] \(\Delta = 1000^2 - 4\cdot3\cdot40000 = 520000\), \(\sqrt{\Delta}\approx 721.11\).
   \[ x = \frac{1000 \pm 721.11}{6}. \] - \( x_1 \approx \frac{1721.11}{6}\approx 286.85 \) (lớn hơn 200, loại).
   - \( x_2 \approx \frac{278.89}{6}\approx 46.48 \) (trong khoảng \([1,200]\)).
3. Kiểm tra cực đại:
   \[ P''(x) = 0.06x - 10,\quad P''(46.48) \approx 2.7888 - 10 = -7.2112 < 0 \] => \( x\approx 46.48 \) là cực đại.
4. Kiểm tra biên \([1,200]\):
   \( P(1) \) và \( P(200) \) đều âm => loại.
5. Kết luận:
   \( x \approx 46.48 \) cho lợi nhuận lớn nhất.
   \( P(46.48) \approx 3792.22 \) (đơn vị tùy đề).

Đáp số: Sản xuất khoảng 46.48 sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất, cỡ 3792.22.