Bài 5 (Khó – 2, có hàm “miền ghép” / piecewise)

Đề bài:
Một công ty bán sản phẩm với chính sách giá bán thay đổi sau mốc 100 sản phẩm:

• Nếu \( 1 \le x \le 100\), giá bán mỗi sản phẩm cố định là 1000 (đơn vị tiền).
• Nếu \( x > 100\), bắt đầu từ sản phẩm thứ 101, giá bán giảm dần theo công thức: \( \text{Giá của sản phẩm thứ }(100 + k) = 1200 - 2k \), với \( k = 1,2,\dots \).

Chi phí sản xuất \( x \) sản phẩm: \[ C(x) = 200x. \] Giả sử công ty không sản xuất quá 600 sản phẩm \(\bigl(1 \le x \le 600\bigr)\). Hãy xác định \( x \) để lợi nhuận \( P(x) = R(x) - C(x) \) lớn nhất.

 

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Xây dựng hàm doanh thu \( R(x) \) dạng piecewise:

• Khi \( 1 \le x \le 100 \):
  \[ R(x) = 1000x. \]
• Khi \( x > 100 \) (cụ thể \( 100 < x \le 600 \)):
  - 100 sản phẩm đầu bán giá 1000 => thu \( 1000 \cdot 100 = 100000 \).
  - Từ sản phẩm 101 đến \( x \), đánh số \( k=1 \) đến \( x-100 \). Giá mỗi sản phẩm thứ (100+k) là \( 1200 - 2k \).
  Tổng doanh thu phần này: \[ \sum_{k=1}^{x-100} (1200 - 2k). \] Biết \[ \sum_{k=1}^{n} (1200 - 2k) = 1200n - 2\sum_{k=1}^{n} k = 1200n - 2\cdot \frac{n(n+1)}{2} = 1200n - n(n+1) = n(1200 - n - 1) = n(1199 - n). \] Ở đây \( n = x-100 \). Suy ra \[ \sum_{k=1}^{x-100} (1200 - 2k) = (x-100)(1199 - (x-100)) = (x-100)(1299 - x). \] Vậy \[ R(x) = 100000 + \bigl[(x-100)(1299 - x)\bigr] = -x^2 + 1399x - 29900. \]

Như vậy \[ R(x) = \begin{cases} 1000x, & 1 \le x \le 100,\\[6pt] -x^2 + 1399x - 29900, & 100 < x \le 600. \end{cases} \]

Bước 2. Lợi nhuận \( P(x) = R(x) - C(x) \), với \( C(x) = 200x \).

• Trường hợp \( 1 \le x \le 100 \):
  \[ P(x) = 1000x - 200x = 800x. \] Đây là hàm bậc nhất tăng dần trên \([1,100]\). Lớn nhất tại \( x=100 \).
  \[ P(100) = 800 \cdot 100 = 80000. \]
• Trường hợp \( 100 < x \le 600 \):
  \[ P(x) = \bigl[-x^2 + 1399x - 29900\bigr] - 200x = -x^2 + 1199x - 29900. \] Đạo hàm: \[ P'(x) = -2x + 1199. \] Cho \( P'(x)=0 \Rightarrow x = \frac{1199}{2} = 599.5 \). Thuộc \((100,600]\).
  \[ P''(x) = -2 < 0 \quad\Longrightarrow\quad x=599.5 \text{ là cực đại}. \] So sánh \( P(599), P(600) \) (nếu cần \( x \) nguyên) cho giá trị \(\approx 329500\), lớn hơn nhiều so với \( 80000 \) ở \( x=100 \).

Bước 3. Kết luận:

• Trên \([1,100]\), lợi nhuận tối đa tại \( x=100 \), đạt 80000.
• Trên \((100,600]\), lợi nhuận tối đa quanh \( x \approx 599.5 \), nếu bắt buộc nguyên thì \( x=599 \) hoặc \( x=600 \). Lợi nhuận \(\approx 329500\), lớn hơn hẳn 80000.

Đáp số: Nên sản xuất gần 599–600 sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa, khoảng 329.5 nghìn (đơn vị tiền).