Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:

Có hai hộp:

• B1: 5 đỏ, 5 xanh (tổng 10 bóng).
• B2: 3 đỏ, 2 xanh (tổng 5 bóng).

Chuyển 2 bóng ngẫu nhiên từ B1 sang B2, rồi rút 1 bóng từ B2.
Tìm xác suất để “bóng rút từ B2 là 1 trong 2 bóng vừa chuyển từ B1” với điều kiện “bóng đó màu đỏ”.

 

Lời giải chi tiết:

1. Ký hiệu: - \(A\): “Bóng được rút chính là một trong hai bóng vừa chuyển”.
   - \(B\): “Bóng rút ra màu đỏ”.
2. Xác suất \((A \cap B)\):
   Sự kiện này xảy ra khi:
   • Trong 2 bóng chuyển, phải có ít nhất 1 đỏ. Thậm chí có thể 2 đỏ.
   • Bóng rút ra từ B2 phải là chính 1 trong những bóng đỏ vừa chuyển.
   Ta nên chia nhỏ TH:
   1. Chuyển “2 đỏ”: xác suất \(\dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}} = \dfrac{10}{45} = \dfrac{2}{9}\).
      Lúc đó B2 có (3+2)=5 đỏ, 2 xanh, tổng 7. Xác suất rút 1 trong 2 đỏ vừa chuyển: \(\dfrac{2}{7}\).
      Đóng góp: \(\dfrac{2}{9}\times \dfrac{2}{7} = \dfrac{4}{63}.\)
   2. Chuyển “1 đỏ + 1 xanh”: xác suất \(\dfrac{\binom{5}{1}\binom{5}{1}}{\binom{10}{2}} = \dfrac{5 \times 5}{45} = \dfrac{25}{45} = \dfrac{5}{9}.\)
      Lúc đó B2 có (3+1)=4 đỏ, (2+1)=3 xanh, tổng 7. Xác suất rút “chính quả đỏ vừa chuyển” (chỉ 1 đỏ chuyển) = \(\dfrac{1}{7}\).
      Đóng góp: \(\dfrac{5}{9}\times \dfrac{1}{7} = \dfrac{5}{63}.\)
   3. Chuyển “0 đỏ” (2 xanh): thì không thể thỏa “bóng rút ra là bóng đỏ chuyển” (vì chẳng có đỏ chuyển). Đóng góp = 0.
   Vậy \[ P(A \cap B) = \frac{4}{63} + \frac{5}{63} = \frac{9}{63} = \frac{1}{7}. \]
3. Xác suất \(B\): “Bóng rút ra màu đỏ”. Gộp theo ba kịch bản chuyển:
   1. Chuyển 2 đỏ: \(\dfrac{2}{9}\). B2 có 5 đỏ, 2 xanh => rút đỏ \(\dfrac{5}{7}\). Đóng góp: \(\dfrac{2}{9}\times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{63}\).
   2. Chuyển 1 đỏ, 1 xanh: \(\dfrac{5}{9}\). B2 có 4 đỏ, 3 xanh => rút đỏ \(\dfrac{4}{7}\). Đóng góp: \(\dfrac{5}{9}\times \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{63}\).
   3. Chuyển 0 đỏ (2 xanh): \(\dfrac{\binom{5}{0}\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}} = \dfrac{1\times10}{45} = \dfrac{2}{9}\). B2 có 3+0=3 đỏ, 2+2=4 xanh => rút đỏ \(\dfrac{3}{7}\). Đóng góp: \(\dfrac{2}{9}\times \dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{63}\).
   Tổng \[ P(B) = \frac{10}{63} + \frac{20}{63} + \frac{6}{63} = \frac{36}{63} = \frac{4}{7}. \]
4. Kết quả: \[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\tfrac{1}{7}}{\tfrac{4}{7}} = \frac{1}{4} = 0.25. \] Tương đương 25%.

Kết luận: Xác suất yêu cầu là 25%.