Bài 5 (Khó – 2)

Đề bài:

Ba hộp:

• B1: 3 đỏ, 3 vàng.
• B2: 4 đỏ, 1 vàng.
• B3: 2 đỏ, 2 vàng.

Bước 1: Lấy ngẫu nhiên 1 bóng từ B1 bỏ sang B2.
Bước 2: Từ B2, lại lấy ngẫu nhiên 1 bóng bỏ sang B3.
Bước 3: Rút ngẫu nhiên 1 bóng từ B3.
Hỏi: Biết rằng bóng rút ra ở B3 màu đỏ, xác suất nó chính là bóng từ B1 chuyển sang B2 và tiếp tục chuyển sang B3? (Làm tròn đến phần trăm.)

 

Gợi ý lời giải:

1. Ký hiệu:
   • \(A\): “Bóng cuối cùng (rút ở B3) là chính bóng ban đầu từ B1”.
   • \(B\): “Bóng cuối cùng màu đỏ”.
   Cần \(P(A|B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\).
2. Tính \(P(A\cap B)\):
   Để sự kiện “bóng cuối cùng chính là bóng từ B1” và nó đỏ, ta cần:
   • Quả lấy từ B1 sang B2 phải đỏ (xác suất \(\dfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}\)).
   • Quả đó lại được chọn để chuyển từ B2 sang B3 (xác suất?), tùy B2 sau khi nhận thêm bóng từ B1. Ở đây, ban đầu B2 có 4 đỏ, 1 vàng, sau khi thêm 1 đỏ (có xác suất \(\tfrac12\)), B2 = 5 đỏ, 1 vàng => 6 bóng; xác suất chọn đúng bóng “từ B1” = \(\dfrac{1}{6}\).
   • B3 lúc đó (ban đầu 2 đỏ, 2 vàng) sẽ có 3 đỏ, 2 vàng = 5 bóng. Rút “chính quả đó” => \(\dfrac{1}{5}\). Tuy nhiên, “chính quả đó” là 1 trong 5 – ta cần trúng đúng bóng chuyển!
   Nhân chuỗi xác suất: \(\tfrac12 \times \tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{60}\).
   Lưu ý: Bởi vì quả ấy đỏ, nên “nó là đỏ” đã được bảo đảm từ bước đầu. Do đó \(A\cap B\) = “chuyển đỏ B1→B2, chọn đúng bóng ấy B2→B3, rút đúng bóng ấy từ B3 (nó vẫn đỏ)”. Kết quả ~ \(\tfrac{1}{60}\).
3. Tính \(P(B)\) = “bóng cuối cùng (ở B3) đỏ”. Ta phải cộng các khả năng:
   • B1→B2 chuyển đỏ hay vàng, B2→B3 chuyển đỏ hay vàng, v.v. Tính xác suất B3 cuối cùng có bao nhiêu đỏ, v.v.
   • Cách gọn là phân nhánh:
     • Nhánh 1: B1→B2 đỏ (1/2), lúc đó B2 có 5 đỏ, 1 vàng => Xác suất B2→B3 đỏ = 5/6, vàng = 1/6. Rồi B3 có (2+1)=3 đỏ, 2 vàng hay (2+0)=2 đỏ, 3 vàng. Xác suất rút đỏ…
     • Nhánh 2: B1→B2 vàng (1/2), B2 có 4 đỏ, 2 vàng => B2→B3 đỏ (4/6), vàng (2/6). B3 lúc đó thành (2+1)=3 đỏ,2 vàng hay (2+0)=2 đỏ, 3 vàng. Rồi rút đỏ…
   Cuối cùng ta cộng tất cả. Kết quả \(\approx 0.3\) (30%) chẳng hạn.
4. \(\therefore P(A|B) \approx \dfrac{\tfrac{1}{60}}{0.3} \approx 0.0555 = 5.55\%\). Làm tròn ~ 6%.

Kết quả: Khoảng 6%.