Bài 1 (Dễ)

Đề bài:

Xét mặt phẳng Oxy, cho hai điểm \[ A(2;0), \quad B(6;0). \] Tìm toạ độ điểm M sao cho \[ MA = 2 \quad \text{và} \quad MB = 4. \] Sau đó tính \(OM\) (khoảng cách từ M đến gốc O).

Hướng dẫn & Lời giải:

1. Dạng hình học: Tập điểm M có \(MA=2\) là đường tròn tâm A(2;0) bán kính 2; tập điểm M có \(MB=4\) là đường tròn tâm B(6;0) bán kính 4. Ta tìm giao của 2 đường tròn.
2. Phương trình:
   - \(MA=2 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 = 4.\)
   - \(MB=4 \Rightarrow (x-6)^2 + y^2 = 16.\)
3. Trừ hai phương trình: \[ (x-2)^2 - (x-6)^2 = 4 - 16 \quad\Longrightarrow\quad (x^2 -4x +4) - (x^2 -12x +36) = -12 \] \[ -4x +4 +12x -36 = -12 \quad\Longrightarrow\quad 8x -32 = -12 \quad\Longrightarrow\quad 8x = 20 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{20}{8} = 2.5. \] Thay \( x=2.5 \) vào \((x-2)^2 + y^2=4\): \[ (2.5-2)^2 + y^2 = 4 \;\Longrightarrow\; 0.5^2 + y^2 = 4 \;\Longrightarrow\; y^2= 4 - 0.25= 3.75 \;\Longrightarrow\; y = \pm \sqrt{3.75} = \pm \sqrt{\frac{15}{4}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}. \]
4. Vậy có 2 nghiệm: \[ M_1\bigl(2.5;\;\frac{\sqrt{15}}{2}\bigr), \quad M_2\bigl(2.5;\;-\frac{\sqrt{15}}{2}\bigr). \]
5. Khoảng cách đến gốc O: \[ OM = \sqrt{x^2 + y^2}. \] Với \( x=2.5,\; y^2=\frac{15}{4}\), \[ OM = \sqrt{(2.5)^2 + \frac{15}{4}} = \sqrt{6.25 + 3.75} = \sqrt{10} \approx 3.1623. \] (Cùng giá trị cho cả hai nghiệm do đối xứng qua trục Ox.)

Kết luận: M có toạ độ \(\bigl(2.5;\;\pm \tfrac{\sqrt{15}}{2}\bigr)\), và \(OM = \sqrt{10}\).