Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \[ A(1;0;0), \quad B(0;2;0), \quad C(0;0;3). \] Tìm điểm \(M(x;y;z)\) sao cho \[ MA = 2,\quad MB = 3,\quad MC = 4. \] Hỏi có bao nhiêu nghiệm và hãy tìm tất cả nghiệm ấy (nếu có). Cuối cùng, tính \(OM\) (nếu có nghiệm).

Lời giải tóm tắt:

1. Lập các phương trình khoảng cách:
   \[ MA^2 :\; (x-1)^2 + y^2 + z^2 = 4, \] \[ MB^2 :\; x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 9, \] \[ MC^2 :\; x^2 + y^2 + (z-3)^2 = 16. \]
2. Trừ cặp phương trình để khử bớt:
   • Trừ \((MA^2)\) và \((MB^2)\): \[ (x-1)^2 + y^2 + z^2 \;-\;\bigl[x^2 + (y-2)^2 + z^2\bigr] = 4 - 9 = -5. \] \[ (x^2 -2x+1)+ y^2 - x^2 - (y^2 -4y+4) = -5 \;\Rightarrow\; -2x+1 +4y -4 = -5 \;\Rightarrow\; -2x +4y -3 = -5 \;\Rightarrow\; -2x +4y = -2. \] \[ \;\Longrightarrow\; -2x +4y = -2 \;\Longrightarrow\; -x +2y= -1 \;\Longrightarrow\; x -2y= 1. \] (1) \(x-2y=1\).
   • Trừ \((MA^2)\) và \((MC^2)\): \[ (x-1)^2 + y^2 + z^2 \;-\; [x^2 + y^2 + (z-3)^2] = 4 -16= -12. \] \[ (x^2 -2x+1) + z^2 - x^2 - (z^2 -6z+9) = -12 \;\Rightarrow\; -2x+1 +6z -9 = -12 \;\Rightarrow\; -2x +6z -8 = -12 \;\Rightarrow\; -2x +6z= -4. \] \[ \;\Longrightarrow\; -x +3z = -2 \;\Longrightarrow\; x -3z= 2. \] (2) \(x-3z=2\).
3. Từ (1) và (2): \[ \begin{cases} x - 2y= 1,\\ x - 3z= 2. \end{cases} \] Ta có thể biểu diễn \( x=1+2y \), rồi thay vào (2): \[ (1+2y) -3z=2 \;\Longrightarrow\; 2y -3z=1. \] Gọi đó là (3). Nên \((x,y,z)\) phụ thuộc vào 2 biến: \(y,z\).
4. Thay trở lại một trong các phương trình gốc (chẳng hạn \((MA^2)=4\)) để tìm mối liên hệ \(y,z\).
   \[ MA^2 = (x-1)^2 + y^2 + z^2=4. \] Nhưng \( x=1+2y \). Nên \[ (1+2y -1)^2 +y^2 +z^2=4 \;\Longrightarrow\; (2y)^2 +y^2 + z^2=4 \;\Longrightarrow\; 4y^2 + y^2 + z^2=4 \;\Longrightarrow\; 5y^2 + z^2=4. \] (4) \(5y^2 + z^2=4.\)
   Đồng thời (3) \(2y-3z=1\). Ta có hệ \[ \begin{cases} 5y^2 + z^2=4,\\ 2y -3z=1. \end{cases} \]
5. Giải hệ (3)-(4):
   • Từ (3): \( 2y=1+3z \Rightarrow y=\dfrac{1+3z}{2}.\)
   • Thay vào (4): \[ 5\Bigl(\frac{1+3z}{2}\Bigr)^2 + z^2=4. \] \[ 5\frac{(1+3z)^2}{4}+ z^2=4 \;\Longrightarrow\; \frac{5(1+6z+9z^2)}{4} + z^2=4. \] \[ \frac{5 +30z+45z^2}{4}+ z^2=4 \;\Longrightarrow\; 5 +30z +45z^2 +4z^2=16 \;\Longrightarrow\; 49z^2 +30z -11=0. \] Giải bậc hai: \[ \Delta=30^2 -4\cdot 49\cdot(-11)=900 +2156=3056, \quad \sqrt{3056}= \sqrt{764\cdot4}=2\sqrt{764}. \] \[ z= \frac{-30 \pm 2\sqrt{764}}{98} = \frac{-15 \pm \sqrt{764}}{49}. \]
   • Rồi \(\displaystyle y= \frac{1+3z}{2}.\)
     \(\displaystyle x=1+2y.\)
   Vậy có 2 cặp \((y,z)\) và tương ứng 2 nghiệm \((x,y,z)\). Ta kiểm tra nhanh \((MB^2=9)\) hoặc \((MC^2=16)\) cũng khớp (chúng phải khớp do chúng ta xuất phát từ đó).
6. Kết luận: Có 2 nghiệm (trong 3D, giao 3 mặt cầu thường là cặp điểm). Mỗi nghiệm dẫn đến 1 giá trị \(OM = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Thường hai nghiệm cho hai giá trị khác nhau trừ phi đối xứng. Có thể tính cụ thể nếu ta thích.

Kết quả: Hệ có hai nghiệm. Nếu thay số hoàn toàn, ta được toạ độ tường minh và khi đó tính \(OM\). Việc giải chi tiết phụ thuộc tính toán cụ thể.