Bài 3 (Trung bình – 2)

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm: \[ A(1;1;0), \quad B(1;4;0), \quad C(4;4;0), \quad D(1;4;4). \] Tìm điểm \(M(a;b;c)\) sao cho: \[ MA = 3,\quad MB = 2,\quad MC=4,\quad MD=5. \] Giải thích vì sao hệ này có (hoặc không có) nghiệm, và nếu có, hãy tính luôn \(OM\).

Hướng dẫn / Lời giải phác thảo:

1. Các phương trình: \[ MA^2:(a-1)^2 + (b-1)^2 + c^2 = 9, \] \[ MB^2:(a-1)^2 + (b-4)^2 + c^2 = 4, \] \[ MC^2:(a-4)^2 + (b-4)^2 + c^2 =16, \] \[ MD^2:(a-1)^2 + (b-4)^2 + (c-4)^2=25. \]
2. Ta trừ (MA^2) & (MB^2) => quan hệ giữa a,b. Rồi trừ (MB^2) & (MC^2). v.v… Giống cách làm ở bài trước.
3. Nếu hệ có nghiệm, nó biểu diễn giao của 4 mặt cầu. Thông thường 4 mặt cầu xác định tối đa 2 điểm hoặc 1 điểm hoặc vô nghiệm. Ta cần kiểm tra.
4. Sau khi giải, ta được (có thể) 1 nghiệm duy nhất, rồi tính tiếp \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

Đáp số: Tuỳ tính toán, có thể cho 1 nghiệm (hoặc không có). Nếu có, ta tìm được toạ độ M, từ đó suy ra \(OM\).