Bài 4 (Khó – 1)

Đề bài:

Trong hệ Oxyz, cho: \[ A(0;0;0), \quad B(4;0;0), \quad C(0;3;0). \] Điểm M(x;y;z) thỏa: \[ MA=5,\quad MB=3,\quad MC=4. \] (a) Tìm toạ độ M.
(b) Tính tiếp “khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC)”.
(Gợi ý: Mặt phẳng (ABC) chính là mặt phẳng z=0, vì A,B,C đồng phẳng z=0. Vậy câu (b) rất đơn giản.)

Lời giải tóm tắt:

1. Phương trình: \[ MA^2: x^2 + y^2 + z^2 = 25, \] \[ MB^2: (x-4)^2 + y^2 + z^2=9, \] \[ MC^2: x^2 + (y-3)^2 + z^2=16. \]
2. Trừ cặp đầu: \[ x^2 +y^2+z^2 - [(x-4)^2 +y^2+z^2] =25-9=16 \] \[ x^2 - (x^2 -8x+16)=16 \;\Longrightarrow\; 8x-16=16 \;\Longrightarrow\; 8x=32 \;\Longrightarrow\; x=4. \]
3. Thay x=4 vào \(MA^2=25\): \[ 4^2 + y^2 +z^2=25 \;\Longrightarrow\; 16 + y^2 +z^2=25 \;\Longrightarrow\; y^2 +z^2=9. \]
4. Thay x=4 vào \(MC^2=16\): \[ 4^2 +(y-3)^2 + z^2=16 \;\Longrightarrow\; 16 +(y-3)^2 +z^2=16 \;\Longrightarrow\; (y-3)^2 + z^2=0. \] Suy ra \(y-3=0\) và \(z=0\). Thế nên \(y=3, z=0\).
5. Kiểm tra y^2+z^2=9 => \(3^2 +0=9\) ok.
6. Vậy M(4;3;0) là nghiệm duy nhất.

   (a) \(M(4;3;0)\)

   (b) Khoảng cách đến mp (ABC) = khoảng cách đến z=0 => \(|z|=0\). Vậy M nằm trên chính mặt phẳng (ABC).

Đáp số:

• Toạ độ M: (4;3;0).
• Khoảng cách tới (ABC) = 0.