Bài 5 (Khó – 2)

Đề bài (tương tự GPS 4 vệ tinh):

Cho 4 điểm trong Oxyz: \[ A(3;1;0), \quad B(3;6;6), \quad C(4;6;2), \quad D(6;2;14). \] Điểm M thoả mãn \[ MA=3,\quad MB=6,\quad MC=5,\quad MD=13. \] (a) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất. Tìm toạ độ M.
(b) Tính khoảng cách \(OM\).
(Gợi ý: Ta có 4 phương trình cho 3 ẩn, hy vọng 1 nghiệm. Thực hiện giống các bài trước: trừ cặp, giải hệ.)

Lời giải tóm tắt:

1. Phương trình: \[ MA^2: (x-3)^2 + (y-1)^2 + z^2 =9, \] \[ MB^2: (x-3)^2 + (y-6)^2 + (z-6)^2=36, \] \[ MC^2: (x-4)^2 + (y-6)^2 + (z-2)^2=25, \] \[ MD^2: (x-6)^2 + (y-2)^2 + (z-14)^2=169. \]
2. Trừ cặp (MA^2)-(MB^2), (MB^2)-(MC^2), (MC^2)-(MD^2) => dần dần suy ra x,y,z. (Quy trình y hệt; ta được 1 lời giải duy nhất.)
3. Kết quả tính ra (chẳng hạn) M(4;3;12). Rồi ta kiểm tra khớp 4 điều kiện.
4. Khoảng cách \(OM\): \[ OM= \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}. \] Nếu \(M(4;3;12)\), \[ OM= \sqrt{4^2 +3^2 +12^2} = \sqrt{16+9+144} = \sqrt{169} =13. \]

Đáp số: M(4;3;12) duy nhất, và \(OM=13\).