Bài 1 (Dễ)
Đề bài:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác với \[ AB = 5,\quad BC = 5,\quad CA = 7. \] Biết các cạnh bên (như \(AA'\)) vuông góc với đáy, độ cao là \(h\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\). (Giả sử thêm rằng lăng trụ đủ dữ liệu để xác định, hoặc kết quả có thể không phụ thuộc \(h\).)
Lời giải chi tiết (dùng toạ độ và công thức khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau):
- Bước 1. Đặt hệ trục Oxyz trong mặt phẳng đáy \(ABC\):
- Chọn \(A\) làm gốc toạ độ: \(A(0,0,0)\).
- Đặt \(\overrightarrow{AB}\) trùng trục Ox, nên \(B(5,0,0)\) (vì \(AB=5\)).
- Điểm \(C\) phải thoả \(AC=7\) và \(BC=5\). Giải hệ cho ra gần đúng: \(C(4.9,\,5,\,0)\) (vì \((4.9)^2 +5^2 \approx 49\) và \(\sqrt{(4.9-5)^2+5^2}\approx5\)).
- Bước 2. Do lăng trụ đứng, cạnh \(AA'\) vuông góc đáy và dài \(h\). Suy ra \[ A'(0,\,0,\,h). \] Đường thẳng \(AA'\) có véc-tơ chỉ phương \(\mathbf{v_1}=(0,0,h)\).
- Đường thẳng \(BC\) có hai điểm \(B(5,0,0)\), \(C(4.9,5,0)\). Véc-tơ chỉ phương \(\mathbf{v_2} = \overrightarrow{BC}=(4.9-5,\,5-0,\,0-0)=(-0.1,\;5,\;0).\)
- Chọn hai điểm mốc: \[ P_1=A(0,0,0)\in AA', \quad P_2=B(5,0,0)\in BC. \] Rồi áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: \[ d=\frac{\bigl|\bigl(\overrightarrow{P_1P_2}\bigr)\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2})\bigr|} {\bigl|\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr|}. \]
- Tính cụ thể:
- \(\overrightarrow{P_1P_2} = B - A = (5,0,0).\)
- \(\mathbf{v_1}\times \mathbf{v_2} = (0,0,h)\times(-0.1,5,0).\)
Dùng định thức: \[ \mathbf{v_1}\times \mathbf{v_2} = \bigl(0\cdot0 -h\cdot5,\;-(0\cdot0 -h\cdot(-0.1)),\;0\cdot5-0\cdot(-0.1)\bigr) =(-5h,\;-0.1h,\;0). \]
- \(\bigl|\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr| = \sqrt{(-5h)^2+(-0.1h)^2} = \sqrt{25h^2+0.01h^2} = h\sqrt{25.01}\approx 5.001\,h.\)
- \(\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}) = (5,0,0)\cdot(-5h,\;-0.1h,\;0)= 5\times(-5h)+0+0=-25h.\)
Giá trị tuyệt đối \(\approx 25h.\)
Suy ra \[ d = \frac{25h}{5.001\,h}\approx 5. \] Đáng chú ý, \(\,h\) khử nhau, kết quả \(\approx 5\).
Đáp số: \(\boxed{5.0}\). (Không phụ thuộc \(h\).)