Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:

Trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \[ AB=3,\;\;BC=4,\;\;AA'=5. \] Gọi \(O\) là trung điểm đoạn \(AD'\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[ OC' \quad \text{và}\quad A'B. \]

Lời giải chi tiết (dùng toạ độ và công thức véc-tơ):

1. Đưa vào toạ độ:
   • Đặt \(A\) tại gốc: \(A(0,0,0)\).
   • Vì \(AB=3\) dọc theo Ox, \(BC=4\) dọc theo Oy, \(AA'=5\) dọc theo Oz, ta có: \[ B(3,0,0), \quad C(3,4,0), \quad D(0,4,0), \] \[ A'(0,0,5), \;B'(3,0,5), \;C'(3,4,5), \;D'(0,4,5). \]
   • \(AD'\) là từ \(A(0,0,0)\) đến \(D'(0,4,5)\). Trung điểm \[ O=\Bigl(\tfrac{0+0}{2},\,\tfrac{0+4}{2},\,\tfrac{0+5}{2}\Bigr)=(0,2,2.5). \]
2. Xác định hai đường:
   • \(OC'\) đi qua \(O(0,2,2.5)\) và \(C'(3,4,5)\). Véc-tơ chỉ phương: \[ \overrightarrow{OC'}=(3-0,\;4-2,\;5-2.5)=(3,2,2.5). \]
   • \(A'B\) đi qua \(A'(0,0,5)\) và \(B(3,0,0)\). Véc-tơ chỉ phương: \[ \overrightarrow{A'B}= (3-0,\;0-0,\;0-5)=(3,\,0,\,-5). \]
3. Chọn \(P_1=O\) trên \(OC'\) và \(P_2=A'\) trên \(A'B\). Ta tính: \[ \overrightarrow{P_1P_2} = A' - O = (0,0,5)-(0,2,2.5) = (0,\,-2,\,2.5). \]
   \(\mathbf{v_1}=\overrightarrow{OC'}=(3,2,2.5)\), \(\mathbf{v_2}=\overrightarrow{A'B}=(3,0,-5).\)
4. Phép tính giao nhau:
   • \(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2} = (3,\,2,\,2.5)\times (3,\,0,\,-5).\)
     Tính determinant: \[ \mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2} = \Bigl|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 3 & 2 & 2.5\\ 3 & 0 & -5 \end{matrix}\Bigr| = \bigl(2\cdot(-5)-2.5\cdot0\bigr)\,\mathbf{i} - \bigl(3\cdot(-5)-2.5\cdot3\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(3\cdot0-2\cdot3\bigr)\,\mathbf{k}. \] \[ = ( -10 )\,\mathbf{i} - \bigl(-15 -7.5\bigr)\,\mathbf{j} + (0-6)\,\mathbf{k} = (-10,\;22.5,\;-6). \] \[ |\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}| = \sqrt{(-10)^2 + (22.5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 506.25 +36} = \sqrt{642.25} \approx 25.35. \]
   • \(\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}) = (0,-2,2.5)\cdot(-10,22.5,-6) =0\cdot(-10) +(-2)\cdot(22.5) +2.5\cdot(-6). \] \[ = -45 +(-15)= -60 \quad\Longrightarrow\quad|\dots|=60. \]
   Suy ra \[ d=\frac{60}{25.35}\approx 2.37. \]

Đáp số: \(\boxed{2.4}\) (làm tròn 1 chữ số thập phân).