Bài 3 (Trung bình – 2)

Đề bài:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh 6. Gọi \(O\) là giao hai đường chéo của hình vuông (tức tâm), và giả sử \(SA\perp (ABCD)\) với \(SA=8\). Gọi \(M\) là trung điểm đoạn \(SD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[ BM\quad \text{và}\quad SC. \] (Làm tròn nếu cần.)

Lời giải chi tiết (toạ độ):

1. Đặt đáy \(ABCD\) trên Oxy:
   • \(A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0)\).
   • \(S\) có độ cao 8 trên A, nên \(S(0,0,8)\) (vì \(SA=8\) vuông góc đáy).
2. \emph{Điểm M} là trung điểm \(SD\), với \(S(0,0,8)\), \(D(0,6,0)\). Vậy \[ M=\Bigl(\tfrac{0+0}{2},\,\tfrac{0+6}{2},\,\tfrac{8+0}{2}\Bigr) =(0,3,4). \]
   Ta có \(B(6,0,0)\), \(C(6,6,0)\).
3. \(\overrightarrow{BM} = M - B=(0-6,\;3-0,\;4-0)=(-6,\,3,\,4)\).
   \(\overrightarrow{SC} = C - S=(6-0,\;6-0,\;0-8)=(6,\,6,\,-8).\)
4. Lấy \(P_1=B\) trên \(BM\), \(P_2=S\) trên \(SC\). \(\overrightarrow{P_1P_2}=S-B=(0-6,\,0-0,\,8-0)=(-6,\,0,\,8).\)
5. \emph{Tính tích có hướng} \(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\) với \(\mathbf{v_1}=\overrightarrow{BM}=(-6,3,4)\) và \(\mathbf{v_2}=\overrightarrow{SC}=(6,6,-8)\): \[ \mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2} = \Bigl|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -6 & 3 & 4\\ 6 & 6 & -8 \end{matrix}\Bigr| = \bigl(3\cdot(-8)-4\cdot6\bigr)\mathbf{i} -\bigl((-6)\cdot(-8)-4\cdot6\bigr)\mathbf{j} +\bigl((-6)\cdot6 -3\cdot6\bigr)\mathbf{k}. \] \[ = ( -24 -24 )\,\mathbf{i} - \bigl(48 -24\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(-36 -18\bigr)\,\mathbf{k} = (-48,\,-24,\,-54). \] \[ |\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}| = \sqrt{(-48)^2+(-24)^2+(-54)^2} = \sqrt{2304+576+2916} = \sqrt{5796}\approx 76.16. \]
6. \(\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}) = (-6,\,0,\,8)\cdot(-48,\,-24,\,-54) = (-6)(-48) +0\cdot(-24) +8\cdot(-54). \] \[ = 288 +(-432)= -144 \quad\Longrightarrow|\dots|=144. \] Suy ra khoảng cách: \[ d=\frac{144}{76.16}\approx 1.89. \]

Đáp số: \(\boxed{1.9}\) (làm tròn 1 chữ số thập phân).