Bài 4 (Khó – 1)

Đề bài:

Cho tứ diện \(ABCD\) với đáy tam giác \(ABC\) cân tại \(B\), cụ thể \(AB=AC=8\), \(BC=10\). Điểm \(D\) nằm trên đường vuông góc \(\bigl(ABC\bigr)\) tại \(B\), và \(DB=6\). Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[ DM \quad \text{và}\quad AB. \] (Làm tròn nếu cần.)

Lời giải chi tiết (toạ độ)

1. Đặt toạ độ:
   • Cho \(B\) tại gốc: \(B(0,0,0)\).
   • Cho \(A\) trên trục Ox, do \(AB=8\), nên \(A(8,0,0)\).
   • Vì \(BC=10\), \(\overrightarrow{BC}=(x,y,0)\) có \(\sqrt{x^2+y^2}=10\). Đồng thời \(AC=8\)\(\Rightarrow\sqrt{(x-8)^2 + y^2}=8.\)
   • Giải ra được (x,y) \(\approx(6.25,\,7.8)\). Vậy \(C(6.25,\,7.8,\,0)\).
   • \(D\) “thẳng đứng” trên \(B\) theo vuông góc đáy, \(DB=6\)\(\Rightarrow D(0,0,6)\).
2. \emph{Trung điểm} \(M\) của \(AC\): \[ M=\Bigl(\tfrac{8+6.25}{2},\;\tfrac{0+7.8}{2},\;0\Bigr) =\bigl(7.125,\;3.9,\;0\bigr). \]
3. <(\(DM\))> có véc-tơ \(\overrightarrow{DM}=M-D=(7.125,\,3.9,\,0)-(0,0,6)=(7.125,\,3.9,\,-6)\).
   <(\(AB\))> có véc-tơ \(\overrightarrow{AB}=A-B=(8-0,\;0-0,\;0-0)=(8,\,0,\,0)\).
4. Chọn \(P_1=D(0,0,6)\) trên \(DM\), \(P_2=A(8,0,0)\) trên \(AB\). Khi đó \[ \overrightarrow{P_1P_2}=A-D=(8,0,0)-(0,0,6)=(8,0,-6). \]
5. Tính tích có hướng \(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\) với \(\mathbf{v_1}=\overrightarrow{DM}=(7.125,\,3.9,\,-6)\) và \(\mathbf{v_2}=\overrightarrow{AB}=(8,\,0,\,0)\): \[ (7.125,\,3.9,\,-6)\times(8,\,0,\,0) = \Bigl|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 7.125 & 3.9 & -6\\ 8 & 0 & 0 \end{matrix}\Bigr|. \] \[ =\bigl(3.9\cdot0 -(-6)\cdot0\bigr)\mathbf{i} -\bigl(7.125\cdot0 -(-6)\cdot8\bigr)\mathbf{j} +\bigl(7.125\cdot0 -3.9\cdot8\bigr)\mathbf{k}. \] \[ = (0)\mathbf{i} -\bigl(0+48\bigr)\mathbf{j} +\bigl(0 -31.2\bigr)\mathbf{k} = (0,\;-48,\;-31.2). \] \[ \bigl|\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr| = \sqrt{0^2+(-48)^2+(-31.2)^2} = \sqrt{2304+973.44} = \sqrt{3277.44} \approx 57.24. \]
6. \emph>Dot product \(\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2})\): \[ (8,0,-6)\cdot(0,-48,-31.2) = 8\cdot0 +0\cdot(-48)+(-6)\cdot(-31.2) = 187.2. \] Lấy giá trị tuyệt đối \(\approx 187.2\). Cuối cùng, \[ d=\frac{187.2}{57.24}\approx 3.27. \]

Đáp số: \(\boxed{3.3}\) (làm tròn 1 chữ số thập phân).