Bài 5 (Khó – 2)

Đề bài (mang tính tổng hợp):

Xét một hình chóp (hoặc lăng trụ) phức tạp, chẳng hạn S.ABCDE với đáy ngũ giác ABCDE phẳng, đỉnh S nằm ngoài mặt đáy. Ta cho toạ độ các điểm (hoặc các độ dài) cụ thể, rồi xét hai đường thẳng (SM) và (BD) (hoặc bất kỳ hai đường chéo nhau nào). Yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường ấy.

Lời giải gợi ý (mẫu):

1. Xác định toạ độ A,B,C,D,E (các con số phù hợp), rồi S. Tính giao M = \((AC)\cap (SBD)\) (chẳng hạn) hay điểm bất kỳ.
   Viết phương trình từng đường, lấy véc-tơ chỉ phương.
2. Dùng công thức: \[ d\bigl(\ell_1,\ell_2\bigr) = \frac{\bigl|(\overrightarrow{P_1P_2})\cdot\bigl(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr)\bigr|} {\bigl|\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr|}, \] trong đó \(\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}\) là véc-tơ chỉ phương hai đường; \(P_1\in \ell_1,\,P_2\in \ell_2\). Tính cẩn thận tích có hướng, tích vô hướng.
3. Kết quả thường là một số căn thức. Cuối cùng làm tròn (nếu đề yêu cầu).

Đáp số tham khảo: Tùy bài cụ thể, có thể ra \(\approx 2.5\), \(\approx 3.1\), v.v.