Bài 4 (Khó – 1)

Đề bài:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB \\ CD), trong đó: \[ AB=6,\quad CD=2,\quad AD=5,\quad BC= \sqrt{29}, \] và ABCD nằm trong 1 mặt phẳng. Giả sử S là đỉnh sao cho SA vuông góc đáy (tức SA \(\perp\) (ABCD)), và \(\angle(SB,\,(ABCD))=45^\circ\). Biết \(SB=4\). Tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết (tóm tắt):

1. Diện tích đáy \((ABCD)\): Hình thang có 2 cạnh đáy AB=6, CD=2, chiều cao h_đáy chưa cho trực tiếp nhưng có các cạnh bên AD=5, BC=\(\sqrt{29}\). Ta có thể tìm chiều cao hình thang bằng cách vẽ thêm, hoặc áp dụng công thức (quy tắc cắt tam giác).
   Cách tính: Đặt toạ độ: A(0,0), B(6,0). C và D sao cho CD=2, AD=5, BC=\(\sqrt{29}\). Giải suy ra chiều cao = 4. (Thật vậy, BC\(^2 = (x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2\), etc.)
   Khi chiều cao \(\text{(trong đáy)}=4\), diện tích hình thang \[ \Delta_{ABCD}= \frac{(AB+CD)\times 4}{2} = \frac{(6+2)\times4}{2} = \frac{8\times4}{2} =16. \]
2. Tìm chiều cao khối chóp: Bài cho \(SA\perp\) đáy => \(SA\) là đường cao. Nhưng ta chưa biết \(SA\) bao nhiêu. Chỉ biết \(SB=4\) và góc \(\angle(SB,\text{đáy})=45^\circ\). Trong tam giác \(\triangle S B A\) (trong không gian), \(\angle(SB,\text{đáy})=45^\circ\) nghĩa là góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \((ABCD)\). Từ đó \(\sin(45^\circ)= \dfrac{ \text{độ cao từ B} }{SB}\). Song “độ cao từ B” so với đáy không phải \(SA\). Tuy nhiên, do \(SA\perp\text{đáy}\), ta có dựng H là hình chiếu S xuống đáy => H trùng A (bởi \(SA\) vuông góc đáy).
   Chuyển hướng: Dùng “góc giữa đường \(SB\) và đáy” = góc giữa \(SB\) và BH (với H là chiếu S lên đáy). Ta phải định vị B, A, S… cẩn thận.
   Kết luận: ta có tam giác SBA trong đó \(SB=4\), \(SA=?\), \(\angle BSA=90^\circ\) (vì \(SA\perp\text{đáy}\) và B nằm trong đáy). Góc giữa \(SB\) và đáy = góc \(\angle(SB,BA)\) hay \(\angle(SB, BH)\).
   Cuối cùng, ta tìm ra \(SA= 4 \cos(45^\circ)= 4 \times \tfrac{\sqrt2}{2}= 2\sqrt2\). (Chi tiết: \(SB\) nghiêng 45° so với đáy => thành phần vuông góc đáy = \(SB\cos45^\circ\). Mà vuông góc đáy = \(SA\).) Vậy chiều cao chóp \(h=SA= 2\sqrt2.\)
3. Thể tích: \[ V= \tfrac13 \times (\text{diện tích đáy}) \times (\text{chiều cao}) = \tfrac13 \times 16 \times (2\sqrt2) = \tfrac{32\sqrt2}{3}. \]

Đáp số: \(V= \frac{32\sqrt2}{3}\approx 15.1.\)