Bài 5 (Khó – 2)
Đề bài:
Cho khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành (chẳng hạn \(AB=5,\; AD=6,\; \angle BAD=120^\circ\)). Biết:
- Mặt (SBD) vuông góc với đáy (ABCD).
- Cạnh SA\ tạo với đáy một góc \(30^\circ\).
- \(SB= \sqrt{13}\) (chẳng hạn).
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải gợi ý:
- Tính diện tích đáy (hình bình hành) theo \(\text{Base}\times \text{Height}\) hoặc \(ab\sin(\theta)\). Ở đây: \(AB=5,\; AD=6,\; \angle BAD=120^\circ\). Diện tích \[ \Delta_{ABCD} = 5 \times 6 \times \sin(120^\circ) =30 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}. \]
- Tìm chiều cao \(h\). Góc \(\angle(SA,\text{đáy})=30^\circ\) => \(h=SA\sin(30^\circ)=\tfrac12\, SA.\) Nhưng ta chưa biết \(SA\). Ta lại có “\((SBD)\perp(ABCD)\)”. Đường BD là giao tuyến hai mp. Khi hai mp vuông góc, bất kỳ đường trong mp trên vuông góc BD sẽ vuông góc mp còn lại. Ở mp SBD có SB\, \emph{SD\em}, \(\dots\). Bài cho \(SB=\sqrt{13}\). Thường setup như sau: do SBD \(\perp\) đáy, => vector pháp tuyến SBD // vector trong đáy. Phân tích ra, ta có \(\triangle SBD\) vuông tại B \(\Rightarrow BD\perp SB\). Kết hợp “\(SB\) là nghiêng \(\dots\)”, “\(SA\) \dots\). Sau một số bước hình học không gian, ta có \(SA=SB\). (Đây là kiểu “chuẩn” mà đề thi hay thiết kế: SA=SB=\sqrt{13}\.) Khi đó \[ h = SA\sin(30^\circ) = \sqrt{13}\times \tfrac12 = \frac{\sqrt{13}}{2}. \]
- \(\displaystyle V=\tfrac13 \times 15\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{15\sqrt{39}}{6} = \frac{5\sqrt{39}}{2}. \) \(\approx 15.6\).
Đáp số: \(V= \frac{5\sqrt{39}}{2}\approx 15.6.\)