Bài 1 (Dễ)

Đề bài:

Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm cố định \[ A(0;0),\quad B(4;0). \] Một điểm di động \(P(x;y)\) chỉ có thể nằm trên trục dọc Oy (tức \(x=0\)). Hãy tìm vị trí của \(P\) trên Oy sao cho \[ PA + PB \] là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải chi tiết:

1. Thiết lập biểu thức: \[ P(0;y),\quad A(0;0),\quad B(4;0). \] Ta có \[ PA = \sqrt{(0-0)^2 + (y-0)^2} = |y|, \quad PB = \sqrt{(0-4)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{16 + y^2}. \] Nên \[ f(y) = PA + PB = |y| + \sqrt{16 + y^2}. \]
2. Xét bài toán tối ưu: Tìm \(y\) (thực) sao cho \(f(y)\) cực tiểu. Vì \(y\) có thể dương/âm, ta phân tích hoặc dùng đạo hàm. Chẳng hạn giả sử \(y \ge 0\) (bài đối xứng), \(|y|=y\). Đạo hàm: \[ f'(y) = 1 + \frac{y}{\sqrt{16 + y^2}}. \] Đặt \(f'(y)=0\): \[ 1 + \frac{y}{\sqrt{16 + y^2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{y}{\sqrt{16 + y^2}} = -1. \] Vế trái không thể âm khi \(y\ge 0\). Suy ra không có nghiệm dương. Do đó, nếu xét \(y\ge0\), cực tiểu xảy ra ở biên \(y=0\). Còn nếu \(y<0\), tương tự, xét \(|y|=-y\)... cũng thu được cực tiểu ở \(y=0\). Kết luận: \(y=0\).
3. Giá trị nhỏ nhất: Khi \(P\) trùng gốc O(0;0) = A, ta có \[ PA+PB = 0 + \sqrt{16 + 0} =4. \]

Kết quả: Vị trí \(P\) để \(PA+PB\) nhỏ nhất là \(\boxed{(0;0)}\) (trùng điểm A), và giá trị nhỏ nhất \(\boxed{4}\).