Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:

Trong không gian 3D, cho hai điểm \[ M_1(0;0;10),\quad M_2(6;0;10). \] Trên mặt phẳng \(z=0\) (tức mặt đất), cần tìm một điểm \(P(x;y;0)\) sao cho \[ PM_1 + PM_2 \] là nhỏ nhất. Tính tọa độ \(P\) và giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

1. Dữ liệu hình học: \[ M_1\bigl(0,\,0,\,10\bigr),\quad M_2\bigl(6,\,0,\,10\bigr),\quad P\bigl(x,y,0\bigr). \] Khi chiếu hai điểm \(M_1, M_2\) thẳng xuống \(z=0\), ta được \(\overline{M_1'}(0,0,0)\) và \(\overline{M_2'}(6,0,0)\). Thường, để tối thiểu \(PM_1 + PM_2\), ta xét phản xạ hoặc dùng đạo hàm.
2. Cách phản xạ (thủ thuật gương): Thay vì tìm \(P\) trên \(z=0\), ta “phản xạ” \(M_1\) xuống dưới, lấy \(M_1^*(0,0,-10)\). Khi đó, \(\bigl|PM_1\bigr|\) = \(\bigl|P M_1^*\bigr|\) nếu \(P\) nằm trên \(z=0\). Tương tự, để gộp \(M_2\) ta cũng có thể phản xạ. Song như ở đây, ta chỉ cần phản xạ một trong hai (hoặc cả hai). Tuy nhiên, một cách trực tiếp: Tối ưu \(PM_1 + PM_2\) \(\Leftrightarrow\) đường thẳng \(\overrightarrow{M_1^*M_2}\) cắt mặt phẳng \(z=0\). Giải ra: - \(M_1^*(0,0,-10)\), \(M_2(6,0,10)\). - Đường \(M_1^* M_2\): param \(\mathbf{r}(t) = (0,0,-10) + t\bigl(6,0,20\bigr)\). Muốn \(z=0\) => \(-10 +20t=0\Rightarrow t=0.5\). Suy ra điểm cắt \(P\bigl(6\cdot0.5,\,0,\,0\bigr)=(3,0,0)\). \(\rightarrow\) Vậy \(P(3,0,0)\).
3. Tính tổng khoảng cách: \[ PM_1 = \sqrt{(3-0)^2 +0^2 +0^2 +10^2}=\sqrt{9+100}= \sqrt{109}, \] \[ PM_2 = \sqrt{(3-6)^2 +0^2 + (0-10)^2}=\sqrt{9+100}= \sqrt{109}. \] Vậy \[ PM_1 + PM_2=2\sqrt{109}. \]

Kết quả: Điểm tối ưu là \(\boxed{P(3,\,0,\,0)}\), giá trị nhỏ nhất \(\boxed{2\sqrt{109}\approx 20.88}\).