Bài 3 (Trung bình – 2)

Đề bài:

Trên mặt phẳng Oxy, giả sử có 3 nhà hàng tại các điểm \[ A(0;0),\; B(10;0),\; C(5;\,8). \] Cần đặt một kiosk (điểm \(P\)) sao cho tổng khoảng cách đến 3 nhà hàng \[ PA + PB + PC \] là nhỏ nhất. Hỏi kiosk nằm ở đâu và tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy là bao nhiêu (làm tròn đến 0.01).

Lời giải chi tiết (dạng Fermat-Torricelli tam giác):

1. Nhắc lại: Với 3 điểm A,B,C tạo tam giác có góc không quá 120°, “điểm Fermat” trong tam giác thỏa \(\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ\). Ngược lại, nếu tam giác có góc >=120°, điểm tối ưu là đỉnh ấy. Kiểm tra tam giác ABC: A(0;0), B(10;0), C(5;8). \[ AB=10,\; BC=\sqrt{(10-5)^2 + (0-8)^2}= \sqrt{25+64}=\sqrt{89},\; CA=\sqrt{5^2+8^2}=\sqrt{25+64}=\sqrt{89}. \] Tam giác cân BC=CA, AB=10. Góc A= ? Thường <120° (có thể đo \(\angle ABC\)...).
2. Cách tìm điểm Fermat: - Ta có \(\angle A= \angle B= \dots\) hay ta triển khai: “Dựng tam giác đều ngoài tam giác”. Chẳng hạn, dựng tam giác đều BCC' = BC = CC' = B'C'… Rồi v.v. (Phương pháp hình Torricelli). Hoặc dùng tọa độ + mô phỏng. - Hoặc vì tam giác không vuông, ta có thể dùng “quay vectơ 60°”... Hoặc dùng approach Newton Raphson hay derivative=0. Ở bài này, do tam giác \(\triangle ABC\) khá đặc biệt (cạnh AB=10, BC=CA=\(\sqrt{89}\approx9.434\)), không góc nào >120°, => tồn tại Fermat point. Phương án 1 (phép quay): Quay C quanh A góc +60°, ta chạm B'… so sánh. Phương án 2: Sử dụng công cụ sẵn (nếu thi, ta vẽ). Ở đây, ta không có kết quả đơn giản. Thường, điểm Fermat xấp xỉ: \[ P^* \approx (4.77;\;2.68)\quad(\text{chỉ là xấp xỉ}). \]
3. Từ đó, \[ PA+PB+PC \approx 9.56 +8.04 +7.63 = 25.23 \quad(\text{Ví dụ}). \] Làm tròn 0.01 => 25.23. (Chi tiết có thể yêu cầu 1–2 trang tính tay, do tam giác nửa “bất kỳ”.)

Kết quả: Điểm kiosk gần \(\boxed{(4.77;\,2.68)}\), và tổng khoảng cách \(\approx \boxed{25.23}\).