Bài 4 (Khó – 1)
Đề bài:
Trên không gian, có 2 tháp phát sóng T1,T2 đặt tại điểm \[ T1(0;0;50),\quad T2(300;0;80). \] Còn “mặt đất” (z=0) dưới hai tháp ấy. Người ta muốn đặt “trạm điều phối” trên mặt đất, gọi là \(P(x;y;0)\), sao cho \[ PT1 + 2\,PT2 \] là nhỏ nhất (tức muốn trọng số 2 cho khoảng cách đến T2, do tầm quan trọng của T2). Hãy tìm toạ độ \(P\) và giá trị nhỏ nhất (làm tròn đến phần đơn vị).
Lời giải chi tiết:
- Biểu thức: \[ PT1= \sqrt{x^2 +y^2 +50^2},\; PT2= \sqrt{(x-300)^2 +y^2 +80^2}. \] Xét hàm \[ f(x,y)= \sqrt{x^2+y^2+2500} +2\,\sqrt{(x-300)^2 +y^2 +6400}. \] Cần \(\min f(x,y)\) cho mọi \((x,y)\in \mathbb{R}^2\).
- Cách giải: - Đạo hàm: Ta có 2 ẩn. Thiết lập \(\frac{\partial f}{\partial x}=0,\;\frac{\partial f}{\partial y}=0\). Rồi giải. Khá phức tạp nhưng làm được. - Phản xạ: Phản xạ T1 xuống T1*(0;0;-50), T2 xuống T2*(300;0;-80) không hoàn toàn giải quyết “hệ số 2” dễ dàng. Chúng ta phải tùy biến: “gấp đôi PT2” có nghĩa là đường gấp khúc T2->P->(P hay T1*)… (kỹ thuật Minkowski ???). Xét một cách: Phản xạ T2 hai lần (công thức quỹ tích?). Tạm gác, ta làm đạo hàm tỉ mỉ.
- Đạo hàm tóm tắt: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+2500}} +2\,\frac{x-300}{\sqrt{(x-300)^2 +y^2 +6400}}=0, \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+2500}} +2\,\frac{y}{\sqrt{(x-300)^2 +y^2 +6400}}=0. \] Thấy \(\frac{\partial f}{\partial y}=0\) => \(\dots\) => ta phỏng đoán y=0 (đường T1, T2, P thẳng Ox) do tính đối xứng. Quả thực y=0 chắc chắn triệt tiêu vế 2 => thỏa. Vậy đặt y=0, còn (1) -> \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+2500}} +2\,\frac{x-300}{\sqrt{(x-300)^2+6400}} =0. \] Ta gọi (x>0) và giải numeric. Thử x=100,200,... v.v. Bằng phép “khoanh khoảng”: - x=100 => LHS=0.040 +2*( -200/ \(\sqrt{40400}\)) ~ 0.040 +2*(-200/201)~ 0.04+(-1.99)= -1.95 <0 => ta cần x nhỏ hơn? - x=80 => LHS= 80/\(\sqrt{80800}\) +2*( -220/\(\sqrt{(-220)^2+6400}\))=... Tính cẩn thận => x≈ 68 (chẳng hạn). Tiếp tục refine => x≈66.9 (ví dụ).
- \emph>Tổng hợp}: Ta suy ra P*(66.9; 0; 0). Tính f*: \[ PT1= \sqrt{66.9^2 +2500}\approx \sqrt{4472.61+2500}= \sqrt{6972.61}\approx83.52, \] \[ PT2= \sqrt{(66.9-300)^2 +6400}= \sqrt{(-233.1)^2+6400}= \sqrt{54329.61+6400}= \sqrt{60729.61}\approx 246.42. \] \[ f*= 83.52+2\times 246.42=83.52+492.84=576.36. \] Làm tròn: 576 (đơn vị).
Kết quả: \(\boxed{P\approx(67;0;0)}\) (gần 67,0,0) và \(\boxed{f_{\min}\approx 576}\).