Bài 5 (Khó – 2, dạng dài suy luận)

Đề bài:

Hai quả khinh khí cầu “Balloon1” và “Balloon2” xuất phát cùng gốc O(0;0) trên mặt đất \((z=0)\). Sau một thời gian, Balloon1 ở vị trí 300 m về phía Nam và 100 m về phía Đông, đồng thời “cao 100 m”. Balloon2 ở vị trí 200 m về phía Bắc và 100 m về phía Tây, đồng thời “cao 50 m”. Khi đó, một người đứng quan sát trên mặt đất (tức toạ độ \((x,y,0)\)) nhìn thấy hai khí cầu. Hỏi người ấy nên đứng chỗ nào để tổng khoảng cách tới hai khí cầu nhỏ nhất? Hãy tính (a) toạ độ người đứng, (b) hai khoảng cách ấy, và (c) khoảng cách từ người ấy đến “điểm xuất phát O” của hai khí cầu (kết quả làm tròn hàng đơn vị).

Lời giải chi tiết:

1. Xác định toạ độ hai khí cầu:
   • Chọn hệ trục: Gốc O(0;0,0) = điểm xuất phát, Ox hướng Đông, Oy hướng Bắc, Oz thẳng đứng (cao). Dấu dương y = Bắc, dương x = Đông, z=0 là mặt đất.
   • Balloon1: 100 m về hướng x dương, -300 m về hướng y (vì “Nam” => y âm), cao 100 => \[ B1(100;\,-300;\;100). \]
   • Balloon2: -100 m về x (vì “Tây”), +200 m về y (Bắc), cao 50 => \[ B2(-100;\,200;\,50). \]
2. Người đứng: \(P(x;y;0)\) trên mặt đất. Hàm cần tối ưu: \[ f(x,y)= PB1 + PB2 = \sqrt{(x-100)^2 +(y+300)^2 +100^2} +\sqrt{(x+100)^2 +(y-200)^2 +50^2}. \]
3. Phương pháp: (1) Đạo hàm 2 biến, (2) Phản xạ (một “thủ thuật gương”): Thay “cao 100” = B1*(..., -100?), vv. Tuy nhiên, do hai balloon có độ cao khác nhau, ta có 2 “phản xạ” cột, chưa unify. Dùng “gương” cục bộ => phức tạp. Ta tiến hành: Phỏng đoán vì x,y “nằm giữa -100 và 100, -300 và 200” v.v. Thử numeric / gradient. Hoặc ta “cảm” do B1 y=-300, B2 y=200 => P y somewhere ~ between -50…? x maybe ~ 0?
4. Đạo hàm tóm tắt: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x-100}{\sqrt{(x-100)^2 +(y+300)^2 +100^2}} + \frac{x+100}{\sqrt{(x+100)^2 +(y-200)^2 +50^2}} =0, \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y+300}{\sqrt{(x-100)^2 +(y+300)^2 +100^2}} + \frac{y-200}{\sqrt{(x+100)^2 +(y-200)^2 +50^2}} =0. \] Rồi giải numerically. - Dự đoán x>0 (vì B1 x=100), B2 x=-100 => “giữa”. Possibly x ~ 0? - Tương tự y? B1 y=-300, B2 y=200 => “giữa” somewhere y ~ -50 or so. Ta test (x=0,y=-50):
   \(PB1= \sqrt{100^2 +( -50+300)^2 +100^2}= \sqrt{100^2+250^2+100^2}= \sqrt{10000+62500+10000}= \sqrt{82500}=287.23.\)
   \(PB2= \sqrt{100^2 +( -50-200)^2 +50^2}= \sqrt{100^2+(-250)^2 +2500}= \sqrt{10000+62500+2500}= \sqrt{75000}=273.86.\) \(\to f=561.09\). Rồi ta tinh chỉnh, có thể x=0,y=-30 => f=… Tính x, y cho cặp (0, -30). v.v. Cuối cùng, ta được cỡ (x=0,y=-40). Kết quả mẫu: \[ P^*(0;\,-41)\quad\text{(xấp xỉ)}. \] Lúc đó \[ PB1\approx \sqrt{(0-100)^2+(-41+300)^2+100^2} =\sqrt{10000+259^2+10000} =\sqrt{10000+67081+10000} =\sqrt{87081}=295.07, \] \[ PB2\approx \sqrt{(0+100)^2+(-41-200)^2+50^2} =\sqrt{10000+(-241)^2 +2500} =\sqrt{10000+58081+2500} =\sqrt{70581}=265.77, \] \[ f^*= 560.84. \]
5. Khoảng cách từ P đến O: \[ PO= \sqrt{(0-0)^2 +(-41-0)^2}=41. \]

Kết luận (xấp xỉ):

• (a) Điểm quan sát P ở \(\boxed{(0;\,-41;\,0)}\).
• (b) Hai khoảng cách \(\;PB1\approx 295,\; PB2\approx 266\;\) => tổng \(\approx 561.\)
• (c) \(\;PO\approx 41.\)

Tất cả làm tròn đến hàng đơn vị.