Bài 1 (Dễ)

Đề bài:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích cố định là \(S=36\,\text{m}^2\). Ta muốn bao quanh mảnh vườn bằng một hình tròn ngoại tiếp (tức là 4 đỉnh hình chữ nhật nằm trên đường tròn). Giả sử tâm của đường tròn trùng với tâm của hình chữ nhật. Tính diện tích phần mở rộng \(\Delta\) (tức \(\text{Diện tích hình tròn} - \text{diện tích chữ nhật}\)) nhỏ nhất có thể, và xác định kích thước hình chữ nhật khi đó.

Lời giải chi tiết:

1. Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\) và \(y\). Có \(x \cdot y = 36\). Đường chéo là \(\sqrt{x^2 + y^2}\). Nếu đường tròn ngoại tiếp có tâm tại tâm HCN, bán kính: \[ R=\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}. \]
2. Diện tích hình tròn: \[ \pi R^2 = \pi\,\frac{x^2 + y^2}{4}. \] Phần mở rộng: \[ \Delta = \pi\,\frac{x^2 + y^2}{4} \;-\; xy = \frac{\pi}{4} \,(x^2 + y^2) - 36. \]
3. Với ràng buộc \(xy=36\). Bất đẳng thức: \[ x^2 + y^2 \;\ge\; 2xy = 72, \] bằng nhau khi \(x=y\). Vậy để \(\Delta\) nhỏ nhất, ta cần \(x^2 + y^2\) nhỏ nhất => \(x=y=\sqrt{36}=6\). (Hình vuông.) Khi đó \(x^2 + y^2=72\).
4. \(\Delta_{\min}= \frac{\pi}{4} \times 72 -36 =18\pi -36.\)
   Gần đúng: \(18\cdot 3.14159 -36\approx 56.55 -36=20.55\,\text{m}^2.\)

Đáp số:

• Kích thước HCN tối ưu: \(x=y=6\) (một hình vuông 6x6).
• Phần mở rộng nhỏ nhất: \(\Delta_{\min}=18\pi -36\approx 20.6\,\text{m}^2.\)