Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:

Giả sử một hồ cá hình chữ nhật có chu vi cố định \(P=40\) (m), tức \(2(x+y)=40\Rightarrow x+y=20\). Muốn “làm bờ” phía ngoài hồ theo một đường tròn ngoại tiếp hồ (lấy tâm trùng tâm hình chữ nhật). Tính độ dài phần bờ tròn này (chính là chu vi của đường tròn) nhỏ nhất, xác định cấu hình \(x,y\) khi đó.

Lời giải chi tiết:

1. Đặt \(x,y>0\) với \(x+y=20\). Đường chéo: \(\sqrt{x^2 +y^2}\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp: \[ R= \frac{\sqrt{x^2 +y^2}}{2}. \]
2. Chu vi tròn = \(2\pi R= \pi \frac{\sqrt{x^2 +y^2}}{1}\). Ta muốn \(\sqrt{x^2 +y^2}\) nhỏ nhất để bờ tròn ngắn nhất. Nhưng \(\sqrt{x^2 + y^2}\) lớn hay nhỏ? Xét ràng buộc \(x+y=20\). Ta có \[ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 400 -2xy. \] Để nhỏ nhất, ta cần \(xy\) lớn nhất. Mà \(x+y=20\) => \(xy\) cực đại khi \(x=y=10\). Lúc ấy, \(x^2 +y^2= 100+100=200\).
3. \emph{Do đó}: \[ \sqrt{x^2 +y^2}_{\min} = \sqrt{200}=10\sqrt2, \quad R_{\min}= \frac{10\sqrt2}{2}= 5\sqrt2. \] \[ \text{Chu vi tròn}_{\min}= 2\pi R_{\min}= 2\pi \cdot 5\sqrt2= 10\sqrt2\,\pi. \] Gần đúng: \(10\times1.4142\times3.14159\approx44.43\).

Đáp số:

• Hồ tối ưu: \(x=y=10\) (một HCN vuông 10x10, chu vi 40).
• Chu vi vòng tròn bao ngoài nhỏ nhất: \(10\sqrt2\,\pi \approx 44.43\text{ (m)}.\)