Bài 3 (Trung bình – 2)

Đề bài (mô phỏng gần bài gốc):

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \(S=500\,\text{m}^2\). Muốn mở rộng mảnh đất ra thành một hình tròn ngoại tiếp có cùng tâm với hình chữ nhật, tức 4 đỉnh HCN nằm trên đường tròn. Hỏi phải chọn kích thước (chiều dài \(x\), chiều rộng \(y\)) thế nào để “diện tích mở rộng” (phần mới cộng thêm khi bao phủ hình tròn) là nhỏ nhất? Tính giá trị tối ưu ấy.

Lời giải chi tiết:

1. \(\quad x\cdot y=500.\) \(\quad \text{Đường chéo}=\sqrt{x^2 +y^2}.\) \(\quad R=\tfrac12\sqrt{x^2 +y^2},\;\;\text{Diện tích tròn}=\pi\dfrac{x^2 +y^2}{4}.\)
2. Phần mở rộng: \[ \Delta= \pi \,\frac{x^2 +y^2}{4} -xy = \frac{\pi}{4}(x^2 +y^2) -500. \]
3. Muốn \(\Delta\) nhỏ, \(\iff x^2 + y^2\) nhỏ. Nhưng \(x^2 +y^2 \ge 2xy= 1000\), dấu “=” nếu \(x=y= \sqrt{500}\).
4. Lúc đó \(\Delta_{\min}= \frac{\pi}{4}\times 1000 -500=250\pi -500\). Gần đúng: \(250\times3.14-500=785-500=285\,\text{m}^2.\)

Đáp số: Hình chữ nhật phải là hình vuông cạnh \(\sqrt{500}\approx22.36\), diện tích mở rộng nhỏ nhất = \(250\pi-500\approx285\).