Bài 4 (Khó – 1)

Đề bài:

Một khuôn viên trường có hình chữ nhật chiều dài \(x\), chiều rộng \(y\). Người ta chưa ấn định diện tích hay chu vi, mà có điều kiện riêng: \[ \; 2x + 3y = 600\quad(\text{chẳng hạn}). \] Nay muốn “xây tường bao quanh” theo một vòng tròn ngoại tiếp (tâm trùng tâm hình chữ nhật). Hỏi phải chọn \((x,y)\) (thỏa \(2x+3y=600\)) thế nào để diện tích vòng tròn nhỏ nhất (tức muốn vòng tròn này gọn nhất). Tính diện tích vòng tròn tối ưu.

Lời giải phác thảo (dài hơn để suy luận):

1. Ràng buộc: \[ 2x+3y=600 \quad \Longrightarrow \quad y= \frac{600-2x}{3}. \]
2. Đường chéo HCN = \(\sqrt{x^2 + y^2}\). Bán kính \(\displaystyle R=\frac12 \sqrt{x^2+y^2}\). Muốn diện tích \(\pi R^2 = \pi \frac{x^2+y^2}{4}\) nhỏ => \(x^2 + y^2\) nhỏ. Xét: \[ f(x)= x^2 + \left(\frac{600-2x}{3}\right)^2. \] Tìm \(\min_{x>0} f(x)\). \[ f(x)= x^2 + \frac{(600-2x)^2}{9} = x^2+ \frac{360000 -2400x +4x^2}{9} = x^2+ 40000 - \frac{800x}{3} + \frac{4x^2}{9}. \] Gộp: \[ f(x)= \frac{9x^2 +4x^2}{9} +40000 -\frac{800x}{3} = \frac{13x^2}{9} -\frac{800x}{3} +40000. \] Đạo hàm: \[ f'(x)= \frac{26x}{9} - \frac{800}{3}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{26x}{9}= \frac{800}{3} \;\Longrightarrow\; 26x= 800\times3/1 \times \frac{9}{1} \dots \] Cẩn thận hơn: \[ \frac{26x}{9}= \frac{800}{3} \;\Longrightarrow\; 26x \cdot 3= 9\cdot 800 \;\Longrightarrow\; 78x=7200 \;\Longrightarrow\; x=\frac{7200}{78}\approx92.31. \]
3. Từ đó \(y= \tfrac{600-2(92.31)}{3}= \tfrac{600 -184.62}{3}= \tfrac{415.38}{3}\approx138.46.\) \(\sqrt{x^2 + y^2}\approx \sqrt{(92.31)^2+(138.46)^2}\approx \sqrt{8521+19173}\approx \sqrt{27694}\approx166.36.\) \(R\approx 83.18,\quad \text{diện tích}= \pi R^2 \approx 3.14159\times(83.18)^2\approx3.14159\times 6919\approx21737.\)

Ghi chú: Kết quả cỡ 21,737 (m²), tuỳ làm tròn. Tất cả “dài để suy luận” vì ta phải đặt \(x\), ràng buộc tuyến tính, rồi tối ưu.

Đáp số:

• \(x\approx 92.31,\;y\approx138.46\).
• Diện tích vòng tròn tối thiểu \(\approx 21700\,\text{m}^2.\)