Bài 5 (Khó – 2, yêu cầu “dài để suy luận”)
Đề bài:
Một mảnh vườn hình chữ nhật (chưa rõ kích thước) có đường chéo \(d=50\) (m). Người ta muốn “xây tường rào” dạng đường tròn ngoại tiếp, cũng lấy tâm trùng tâm. Để tiết kiệm chi phí, họ giới hạn tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng không vượt quá 1/5 (hoặc 5 lần). Cụ thể: \[ \frac{1}{5} \;\le\; \frac{x}{y} \;\le\;5. \] Hỏi nên chọn \(x,y\) (thỏa \(x^2+y^2=50^2=2500\) và trên) như thế nào để diện tích hình tròn (bằng \(\pi\,\tfrac{(x^2 + y^2)}{4}\)) là nhỏ nhất hay lớn nhất? Tính giá trị ấy (phần “mở rộng” = \(\text{diện tích tròn} - x\,y\) cũng có thể hỏi).
Lời giải gợi ý:
- Cho \(x^2 + y^2=2500\). Bán kính \(\;R=\tfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}= \tfrac{50}{2}=25\). Dễ thấy \(\text{diện tích hình tròn}=\pi R^2= \pi\,25^2=625\pi\). Kỳ thực nó không phụ thuộc \((x,y)\) một khi đường chéo = 50. Vậy diện tích hình tròn là hằng số = \(625\pi\). ⇒ Bài có thể hỏi “phần mở rộng = \(625\pi - xy\)”. Lúc ấy, ta cần \(\max(xy)\) hoặc \(\min(xy)\) với \(\sqrt{x^2+y^2}=50\) và \(\frac{x}{y}\) trong [1/5, 5].
- Nếu \(\frac{x}{y}\) tự do, \(\max(xy)\) là khi \(x=y= \frac{50}{\sqrt{2}}\approx35.36\). Nhưng ta có ràng buộc \(\frac{x}{y}\in [1/5,\;5]\).
- Nếu \(\frac{x}{y}\le5\), “bên kia” => ta đặt \(x=5y\) => \((5y)^2 + y^2=2500\Rightarrow 25y^2+ y^2=26y^2=2500\Rightarrow y^2=\frac{2500}{26}\). ⇒ \(\,y= \sqrt{\frac{2500}{26}}= \frac{50}{\sqrt{26}}\approx9.80,\; x=5y\approx49.0.\)
- Nếu \(\frac{x}{y}\ge 1/5\), cùng logic => \(x=\frac{y}{5}\) => \(\frac{y^2}{25}+y^2=2500\Rightarrow \frac{26y^2}{25}=2500\Rightarrow y^2=\frac{2500\cdot25}{26}\). ⇒ \(\,y\approx 49.0,\; x\approx9.80.\)
- Khi \(\frac{x}{y}\) ở giữa, ta có “nội suy” => \(xy\) sẽ lớn hơn. Tại \(\frac{x}{y}=1\) => \(x=y=\tfrac{50}{\sqrt2}= 35.36\). So sánh “(5,1/5) cặp” với “(1,1) cặp”.
- \(\displaystyle x=y=35.36\implies xy\approx1250.\)
- \(\displaystyle x=49,\;y=9.80\implies xy\approx 480.2.\)
Rõ ràng 1250 > 480.2.
- Trả lời:
- Cực đại của \(xy\) (trong dải tỉ lệ \([1/5,5]\)) là khi \(x=y=35.36\). Lúc ấy \(\,xy=1250.\) => “Phần mở rộng” = \(625\pi -1250.\) \(\approx1962.5-1250=712.5.\)
- Cực tiểu của \(xy\) xảy ra tại \(\frac{x}{y}=5\) (hoặc =1/5). Tính ra \(\,xy\approx 480.2.\) => “Phần mở rộng” = \(625\pi -480.2\approx1962.5-480.2=1482.3.\)
Lưu ý: “Cực tiểu” hay “Cực đại” của \(xy\) => ngược lại cho “phần mở rộng” = “\(625\pi -xy\)”. Thứ tự: - \(xy\) lớn nhất => “phần mở rộng” nhỏ nhất. - \(xy\) nhỏ nhất => “phần mở rộng” lớn nhất.
Kết luận:
- Diện tích hình tròn vẫn là \(625\pi \approx1962.5\), cố định.
- Nếu muốn “mảnh vườn” (HCN) để phần mở rộng bé nhất thì \(x=y=35.36\). Lúc ấy “mở rộng” \(\approx712.5\).
- Nếu buộc tỉ số \(\frac{x}{y}\le5\) nhưng chưa hết <-> \(\frac{x}{y}=1\) là nằm trong [1/5,5]\).
- Nếu “cố tình” làm HCN cực dẹt, \(\frac{x}{y}=5\) => “mở rộng” \(\approx1482.3\).