Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 18

a) Để lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ 6 chữ số đã cho, ta chọn 4 trong 6 chữ số đó và sắp xếp theo một thứ tự. Do đó, có thể coi mỗi số đó là một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số đó. Do đó, có $A_6^4=6\cdot5\cdot4\cdot3=360$ số như vậy.
b) Để số lập được chia hết cho 5, chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 5. Vậy chữ số tận cùng là 5. Có $A_5^3$ cách chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để viết các chữ số còn lại. Số các số chia hết cho 5 là $A_5^3=5\cdot4\cdot3=60$.
c) Kí hiệu $\overline{abcd}$ là số tự nhiên có bốn chữ số thoả mãn yêu cầu.
Vì $\overline{abcd}>4500$ nên $a\geq4$.
Trường hợp 1: $a=4$. Khi đó, để $\overline{abcd}>4500$ điều kiện cần và đủ là $b\geq5$. Có hai cách chọn chữ số $b$ (5 hoặc 6). Có $A_4^2$ cách chọn hai chữ số còn lại.
Do đó, trường hợp này có $2A_4^2=2\cdot4\cdot3=24$ số thoả mãn yêu cầu.
Trường hợp 2: $a\geq5$. Khi đó, đương nhiên $\overline{abcd}>4500$. Có hai cách chọn chữ số $a$ (5 hoặc 6). Có $A_5^3$ cách chọn ba chữ số còn lại.
Do đó, trường hợp này có $2A_5^3=2\cdot5\cdot4\cdot3=120$ số thoả mãn yêu cầu. Áp dụng quy tắc cộng, có $24+120=144$ số tự nhiên thoả mãn yêu cầu.