Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} \frac{3(x^{2}-3x+2)}{1-x} & \text{khi } x < 1 \\ ax+b & \text{khi } 1 \leq x < 2 \\ \frac{6x-2}{x} & \text{khi } x \geq 2 \end{cases}$. Xác định $a,b$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, khi đó giá trị biểu thức: $P = 2025a-2024b$ là?

Lời giải Xét tính liên tục tại $x=1$: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{3(x-1)(x-2)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1^{-}} -3(x-2) = 3 $$ $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) = a+b \Rightarrow a+b = 3 $$ Xét tính liên tục tại $x=2$: $$ \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = 2a+b $$ $$ \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = f(2) = \frac{6(2)-2}{2} = 5 \Rightarrow 2a+b=5 $$ Giải hệ: $\begin{cases} a+b=3 \\ 2a+b=5 \end{cases} \Rightarrow a=2, b=1$. $P = 2025(2) - 2024(1) = 4050 - 2024 = 2026$.