Bài tự luận · Bài 10
Dạng 2. Xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm (số trung bình – trung vị - tứ phân vị - mốt)
Bài tự luận Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm · Bài 10
(CD11) Khi thống kê tốc độ của 42 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: $km/h$) ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng
| Nhóm | Tần số | Tần số tích luỹ |
|---|---:|---:|
| $[40;45)$ | 5 | 5 |
| $[45;50)$ | 10 | 15 |
| $[50;55)$ | 7 | 22 |
| $[55;60)$ | 9 | 31 |
| $[60;65)$ | 7 | 38 |
| $[65;70)$ | 4 | 42 |
| | $n=42$ | |
a) Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
b) Xác định trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười).
c) Xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
| Nhóm | Tần số | Tần số tích luỹ |
|---|---:|---:|
| $[40;45)$ | 5 | 5 |
| $[45;50)$ | 10 | 15 |
| $[50;55)$ | 7 | 22 |
| $[55;60)$ | 9 | 31 |
| $[60;65)$ | 7 | 38 |
| $[65;70)$ | 4 | 42 |
| | $n=42$ | |
a) Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
b) Xác định trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười).
c) Xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Xem lời giải
Lời giải
a) Từ mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng, ta có bảng tần số ghép nhóm như ở Bảng sau:
| Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
|---|---:|---:|
| $[40;45)$ | 42,5 | 5 |
| $[45;50)$ | 47,5 | 10 |
| $[50;55)$ | 52,5 | 7 |
| $[55;60)$ | 57,5 | 9 |
| $[60;65)$ | 62,5 | 7 |
| $[65;70)$ | 67,5 | 4 |
| | | $n=42$ |
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
$\bar{x}=\frac{5\cdot42,5+10\cdot47,5+7\cdot52,5+9\cdot57,5+7\cdot62,5+4\cdot67,5}{42}\approx54,3$ km/h.
b) Số phần tử của mẫu là $n=42$.
- Ta có: $\frac n2=\frac{42}2=21$ mà $15<21<22$. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 21. Xét nhóm 3 là nhóm $[50;55)$ có $r=50,d=5,n_3=7$ và nhóm 2 là nhóm $[45;50)$ có $cf_2=15$. Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là: $M_e=50+\left(\frac{21-15}{7}\right)\cdot5\approx54,3$ km/h. Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: $Q_2=M_e\approx54,3$ km/h.
- Ta có: $\frac n4=\frac{42}4=10,5$ mà $5<10,5<15$ nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 10,5. Xét nhóm 2 là nhóm $[45;50)$ có $s=45,h=5,n_2=10$ và nhóm 1 là nhóm $[40;45)$ có $cf_1=5$. Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $Q_1=45+\left(\frac{10,5-5}{10}\right)\cdot5\approx47,8$ km/h.
- Ta có: $\frac{3n}4=\frac{3\cdot42}4=31,5$ mà $31<31,5<38$ nên nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 31,5. Xét nhóm 5 là nhóm $[60;65)$ có $t=60,l=5,n_5=7$ và nhóm 4 là nhóm $[55;60)$ có $cf_4=31$. Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: $Q_3=60+\left(\frac{31,5-31}{7}\right)\cdot5\approx60,4$ km/h.
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: $Q_1\approx47,8$ km/h; $Q_2\approx54,3$ km/h; $Q_3\approx60,4$ km/h.
c) Ta thấy: Nhóm 2 ứng với nửa khoảng $[45;50)$ là nhóm có tần số lớn nhất với $u=45;g=5,n_2=10$. Nhóm 1 có tần số $n_1=5$, nhóm 3 có tần số $n_3=7$. Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là: $M_o=45+\left(\frac{10-5}{2\cdot10-5-7}\right)\cdot5\approx48,1$ km/h.
| Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
|---|---:|---:|
| $[40;45)$ | 42,5 | 5 |
| $[45;50)$ | 47,5 | 10 |
| $[50;55)$ | 52,5 | 7 |
| $[55;60)$ | 57,5 | 9 |
| $[60;65)$ | 62,5 | 7 |
| $[65;70)$ | 67,5 | 4 |
| | | $n=42$ |
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
$\bar{x}=\frac{5\cdot42,5+10\cdot47,5+7\cdot52,5+9\cdot57,5+7\cdot62,5+4\cdot67,5}{42}\approx54,3$ km/h.
b) Số phần tử của mẫu là $n=42$.
- Ta có: $\frac n2=\frac{42}2=21$ mà $15<21<22$. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 21. Xét nhóm 3 là nhóm $[50;55)$ có $r=50,d=5,n_3=7$ và nhóm 2 là nhóm $[45;50)$ có $cf_2=15$. Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là: $M_e=50+\left(\frac{21-15}{7}\right)\cdot5\approx54,3$ km/h. Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: $Q_2=M_e\approx54,3$ km/h.
- Ta có: $\frac n4=\frac{42}4=10,5$ mà $5<10,5<15$ nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 10,5. Xét nhóm 2 là nhóm $[45;50)$ có $s=45,h=5,n_2=10$ và nhóm 1 là nhóm $[40;45)$ có $cf_1=5$. Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $Q_1=45+\left(\frac{10,5-5}{10}\right)\cdot5\approx47,8$ km/h.
- Ta có: $\frac{3n}4=\frac{3\cdot42}4=31,5$ mà $31<31,5<38$ nên nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 31,5. Xét nhóm 5 là nhóm $[60;65)$ có $t=60,l=5,n_5=7$ và nhóm 4 là nhóm $[55;60)$ có $cf_4=31$. Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: $Q_3=60+\left(\frac{31,5-31}{7}\right)\cdot5\approx60,4$ km/h.
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: $Q_1\approx47,8$ km/h; $Q_2\approx54,3$ km/h; $Q_3\approx60,4$ km/h.
c) Ta thấy: Nhóm 2 ứng với nửa khoảng $[45;50)$ là nhóm có tần số lớn nhất với $u=45;g=5,n_2=10$. Nhóm 1 có tần số $n_1=5$, nhóm 3 có tần số $n_3=7$. Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là: $M_o=45+\left(\frac{10-5}{2\cdot10-5-7}\right)\cdot5\approx48,1$ km/h.