Cho tờ giấy có hình dạng như sau: một hình vuông $ ABCD $ có cạnh bằng 8 , ở hai cạnh đối diện $ AB $ và $ CD $ lần lượt gắn hai nửa đường tròn có đường kính là mỗi cạnh ấy. Trên cung tròn $ AB $, lấy 2 điểm chia thành ba đoạn bằng nhau, lấy điểm gần $ B $ là $ P $. Trên cung tròn $ CD $, lấy điểm $ Q $ chia thành hai đoạn bằng nhau. Gấp tờ giấy lên theo hai đường thẳng $ AB $ và $ CD $ sao cho hai nửa đường tròn dựng đứng (cùng phía) lên khỏi mặt phẳng $ ABCD $. Khi đó, từ hai điểm $ P $ và $ Q $ ta hạ các đường vuông góc xuống mặt phẳng $ (ABCD) $ được các hình chiếu là $ G $ và $ H $. Người ta cho biết $ G $ và $ H $ nằm bên trong hình vuông $ ABCD $ sao cho $ PG=\sqrt[] { 3 };QH=2\sqrt[] { 3 }. $ Gọi $ \theta $ là góc giữa mặt phẳng $ (PCQ) $ và mặt phẳng $ (ABCD) $. Hỏi giá trị của $ 70\cos ^ { 2 } \theta $ bằng bao nhiêu?

Gắn hệ trục tọa độ $ Oxyz $, sao cho $ O≡C\left ( { 0;0;0 } \right ) $, tia $ Ox≡CD $, tia $ Oy≡CB $, tia $ Oz $ thẳng đứng lên. Gọi $ E\left ( { 4;0;0 } \right ) $ là trung điểm của $ CD $, khi đó $ QE=4,EH=\sqrt[] { QE ^ { 2 } -QH ^ { 2 } }=2 $ Suy ra tọa độ $ H\left ( { 4;2;0 } \right ) $ và $ Q\left ( { 4;2;2\sqrt[] { 3 } } \right ) $ Gọi $ F $ là trung điểm $ AB $, khi đó tam giác $ PFB $ là tam giác đều có cạnh dài bằng $ 4 $. Kẻ $ PI⊥AB $ tại $ I $, khi đó $ PI=2\sqrt[] { 3 } $, từ đó ta suy ra được $ IG=\sqrt[] { PI ^ { 2 } -PG ^ { 2 } }=3 $ Suy ra tọa độ $ G\left ( { 2;5;0 } \right ) $ và $ P\left ( { 2;5;\sqrt[] { 3 } } \right ) $ Xét $ ΔPCQ $ có: $ \left \{ \begin{array}{l} PC=4\sqrt[] { 2 } \\ CQ=4\sqrt[] { 2 } \\ PQ=4 \end{array} \right. $ là một tam giác cân tại $ C $, suy ra $ S_{ ΔPCQ } =\frac { 1 } { 2 }.2\sqrt[] { 7 }.4=4\sqrt[] { 7 } $ Xét $ ΔCGH\in \left ( { Oxy } \right ) $ ta có: $ G\left ( { 2;5 } \right );H\left ( { 4;2 } \right ) $ Suy ra $ S_{ ΔGCH } =20-(5+3+4)=8 $ Ta dễ thấy được$ CGH $ là hình chiếu vuông góc của tam giác $ CPQ $ lên mặt phẳng $ ABCD $ nên: $ \cos\theta =\frac { S_{ ΔGCH } } { S_{ ΔPCQ } }=\frac { 8 } { 4\sqrt[] { 7 } }⇒70\cos ^ { 2 } \theta =70.\left ( { \frac { 2 } { \sqrt[] { 7 } } } \right ) ^ { 2 } =40 $ Lời bình của mình sau khi giải bài này Ở bài này, đối với một số bạn học sinh, sau khi tìm được tọa độ, các bạn sẽ tìm vecto pháp tuyến, rồi tìm góc, nhưng tính toán sẽ dài và dễ sai. Cho bên mình giải theo cách này sẽ đẹp mắt hơn!