Cho hình vuông $ \left ( { C_{ 1 } } \right ) $ có cạnh bằng $ a $. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $ \left ( { C_{ 2 } } \right ) $ (Hình vẽ). Từ hình vuông $ \left ( { C_{ 2 } } \right ) $ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $ C_{ 1 } ,C_{ 2 } ,C_{ 3 } ,..,C_{ n } ,... $. Gọi $ S_{ i } $ là diện tích hình vuông $ C_{ i } $ với $ i∈\left\{1,2,3,...\right\} $. Đặt $ T=S_{ 1 } +S_{ 2 } +S_{ 3 } +...+S_{ n } +... $. Tính độ dài $ a $ biết $ T=4a+12 $?

Ta có: Hình vuông $ \left ( { C_{ 1 } } \right ) $ có cạnh bằng $ a $, $ S_{ 1 } =a ^ { 2 } $. Cạnh của hình vuông $ \left ( { C_{ 2 } } \right ) $ là: $ a_{ 2 } =\sqrt[] { \left ( { \frac { 3 } { 4 }a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 4 }a } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 10 } } { 4 } $, diện tích $ S_{ 2 } =a_{ 2 } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 8 }a ^ { 2 } =\frac { 5 } { 8 }S_{ 1 } $. Cạnh của hình vuông $ \left ( { C_{ 3 } } \right ) $ là: $ a_{ 3 } =\sqrt[] { \left ( { \frac { 3 } { 4 }a_{ 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 4 }a_{ 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a_{ 2 } \sqrt[] { 10 } } { 4 }=a\left ( { \frac { \sqrt[] { 10 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } $, diện tích $ S_{ 3 } =\left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right )a_{ 2 } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 8 }S_{ 2 } =\left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { 2 } S_{ 1 } $. Tương tự, diện tích của hình vuông $ C_{ i } $ là $ S_{ i } =\left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { i-1 } S_{ 1 } =\left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { i-1 } .a ^ { 2 } $ và $ S_{ n } =\left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { n-1 } a ^ { 2 } $. Từ đó $ T=S_{ 1 } +S_{ 2 } +S_{ 3 } +...+S_{ n } +... =\left ( { 1+\frac { 5 } { 8 }+\left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { 2 } +...+\left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { n-1 } +... } \right )a ^ { 2 } $ mà $ P=1+\frac { 5 } { 8 }+\left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { 2 } +...+\left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { n-1 } +... $ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $ u_{ 1 } =1,q=\frac { 5 } { 8 }⇒P=\frac { 1 } { 1-\frac { 5 } { 8 } }=\frac { 8 } { 3 } $ $ ⇒T=\frac { 8 } { 3 }a ^ { 2 } $. Suy ra $ T=\frac { 8 } { 3 }a ^ { 2 } =4a+12⇔8a ^ { 2 } -12a-36=0⇔\left[\begin{array}{l} a=3 \\ a=-\frac { 3 } { 2 } \end{array}\right. $. Vì $ a>0 $ nên $ a=3 $.