Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a, BC = b, CC' = c$. Gọi $O, O'$ lần lượt là tâm của $ABCD$ và $A'B'C'D'$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $O'$ và song song với hai đường thẳng $A'D$ và $D'O$. Khi đó các đoạn giao tuyến của hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với mặt phẳng $(\alpha)$ tạo thành một đa giác $(H)$. Điều kiện của $a, b, c$ để $(H)$ là hình thoi có một góc bằng $60^{\circ}$ thỏa mãn đẳng thức $m \cdot b = n \cdot c = \frac{a}{q}$ ($m, n, q \in \mathbb{N}^*$ và ước chung lớn nhất bằng 1). Khi đó $m + n + q$ bằng ?

Lời giải Gọi $E$ là tâm hình chữ nhật $DCC'D'$, $F$ là trung điểm $OC$. Trên $(ABCD)$, gọi $G = BF \cap CD$. Trên $(CDD'C')$, gọi $H = GE \cap C'D'$. Trên $(A'B'C'D')$, gọi $K$ là giao điểm tương ứng để tạo thành đa giác. Khi đó, vì: $$ \begin{cases} D'O \parallel (BKHG) \\ A'D \parallel (BKHG) \end{cases} $$ nên $(H)$ là tứ giác $BKHG$. Theo đề bài, $BKHG$ là hình thoi có một góc $60^{\circ}$ nên ta có: $$ \begin{cases} HK = HG \\ \widehat{BKH} = 120^{\circ} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A'B'C'D' = CDD'C' \Rightarrow b = c \\ \widehat{BKH} = 120^{\circ} \end{cases} $$ Dễ thấy: $CG = \frac{a}{3} \Rightarrow BG^{2} = BC^{2} + CG^{2} = b^{2} + \frac{a^{2}}{9}$. Trong $\Delta BKO'$ có: $$ BO'^{2} = KB^{2} + KO'^{2} - 2KB \cdot KO' \cdot \cos 120^{\circ} $$ $$ = BG^{2} + \frac{1}{4}BG^{2} - 2BG \cdot \frac{1}{2}BG \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{7}{4}BG^{2} = \frac{7}{4}\left( b^{2} + \frac{a^{2}}{9} \right) $$ $\Delta BOO'$ có: $\widehat{BOO'} = 90^{\circ}$ (vì $OO' \perp (ABCD)$), suy ra $$ BO'^{2} = BO^{2} + OO'^{2} = \frac{a^{2}+b^{2}}{4} + c^{2} $$ Kết hợp với kết quả trên và $b = c$, ta có: $$ \frac{a^{2}+b^{2}}{4} + c^{2} = \frac{7}{4}\left(b^{2}+\frac{a^{2}}{9}\right) \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4} - \frac{7}{36}a^{2} = \frac{7}{4}b^{2} - \frac{5}{4}b^{2} \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{18} = \frac{b^{2}}{2} \Leftrightarrow a^{2} = 9b^{2} \Leftrightarrow a = 3b $$ Vậy $b = c = \dfrac{a}{3}$, tức là $1.b = 1.c = \dfrac{a}{3}$ nên $m = n = 1, q = 3$ (thỏa mãn $m, n, q \in \mathbb{N}^*$ và ước chung lớn nhất bằng 1). Vậy $m + n + q = 1 + 1 + 3 = 5$.