Cho bảng số liệu ghi lại điểm của $40$ học sinh trong bài kiểm tra 1 tiết môn Toán như sau: | Điểm | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Cộng | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **Số học sinh** | $x$ | $y$ | 7 | $z$ | $t$ | 7 | 5 | 1 | 40 | Trong đó số học sinh được điểm $6$ gấp ba lần số học sinh được điểm $3$, số học sinh được điểm $7$ gấp ba lần số học sinh được điểm $4$; tổng số học sinh được điểm $6$ và điểm $7$ gấp năm lần số học sinh được điểm $4$. Tính điểm trung bình bài kiểm tra của học sinh lớp đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải Từ giả thiết, ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases} z = 3x \\ t = 3y \\ z + t = 5y \\ x + y + 7 + z + t + 7 + 5 + 1 = 40 \end{cases} $$ Thay $z = 3x$ và $t = 3y$ vào phương trình $z + t = 5y$, ta được: $$ 3x + 3y = 5y \Rightarrow 3x = 2y \Rightarrow x = \frac{2}{3}y $$ Thay vào phương trình tổng số học sinh: $$ x + y + z + t = 40 - 20 = 20 $$ $$ \frac{2}{3}y + y + 2y + 3y = 20 \Rightarrow \frac{20}{3}y = 20 \Rightarrow y = 3 $$ Suy ra: $$ y = 3, \quad t = 3 \cdot 3 = 9, \quad x = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2, \quad z = 3 \cdot 2 = 6 $$ Vậy số liệu cụ thể là: Điểm 3 ($2$ HS), 4 ($3$ HS), 5 ($7$ HS), 6 ($6$ HS), 7 ($9$ HS), 8 ($7$ HS), 9 ($5$ HS), 10 ($1$ HS). Điểm trung bình bài kiểm tra của học sinh lớp đó là: $$ \bar{x} = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 6 + 7 \cdot 9 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 1}{40} = \frac{264}{40} = 6,6 $$