Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (hình vẽ). Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1, C_2, C_3, ..., C_n.$ Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$ $\Big(i \in \{1, 2, 3, ..., n\}\Big).$ Khi đó $\lim_{n \to +\infty} \frac{2025}{a^2} (S_1 + S_2 + ... + S_n)$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Cạnh của hình vuông $C_1$ là $a$. Do đó $S_1 = a^2$. Cạnh của hình vuông $C_2$ là $\sqrt{\Big(\frac{3a}{4}\Big)^2 + \Big(\frac{a}{4}\Big)^2} = \frac{a\sqrt{10}}{4}$. Do đó $S_2 = \frac{10}{16}a^2 = \frac{10}{16}S_1$. Tương tự ta có $S_3 = \frac{10}{16}S_2, ..., S_n = \frac{10}{16}S_{n-1}$. Khi đó: $$ S_1 + S_2 + ... + S_n = S_1 \left[ 1 + \Big(\frac{10}{16}\Big) + \Big(\frac{10}{16}\Big)^2 + ... + \Big(\frac{10}{16}\Big)^{n-1} \right] $$ Suy ra: $$ \lim_{n \to +\infty} \frac{2025}{a^2}(S_1 + S_2 + ... + S_n) = \frac{2025}{a^2} \cdot \frac{a^2}{1 - \frac{10}{16}} = \frac{2025}{a^2} \cdot \frac{8}{3} a^2 = 5400 $$ Vậy kết quả bằng $5400$.