Trên mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn $ C_{ 1 } :x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =1,\quad C_{ 2 } :(x-1) ^ { 2 } +y ^ { 2 } =r ^ { 2 } \quad (0 < r < \sqrt[] { 2 }). $ Hai đường tròn này cắt nhau tại một điểm $ P $. Gọi $ f(r) $ là hoành độ của điểm $ P $. Khi đó $ L=\lim\limits_{ r→\sqrt[] { 2 } ^ { - } } \frac { f(r) } { 4-r ^ { 4 } } $ vậy giá trị của $ 8L $ bằng bao nhiêu?

Xét phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -1-\left[ (x-1) ^ { 2 } +y ^ { 2 } -r ^ { 2 } \right]=0⇔2x-1=1-r ^ { 2 } ⇔x=\frac { 2-r ^ { 2 } } { 2 }=f(r) $ Khi đó $ \lim\limits_{ r→\sqrt[] { 2 } ^ { - } } \frac { f(r) } { 4-r ^ { 4 } }=\lim\limits_{ r→\sqrt[] { 2 } ^ { - } } \frac { 2-r ^ { 2 } } { 4-r ^ { 4 } }\cdot\frac { 1 } { 2 }=\lim\limits_{ r→\sqrt[] { 2 } ^ { - } } \frac { 2-r ^ { 2 } } { 2(2-r ^ { 2 } )(2+r ^ { 2 } ) }=\lim\limits_{ r→\sqrt[] { 2 } ^ { - } } \frac { 1 } { 2(2+r ^ { 2 } ) }=\frac { 1 } { 8 } $