Cho mẫu số liệu sau: $ x+y $; $ x+y+3 $; $ 3 $; $ 2x-2y+1 $, biết trung vị của mẫu số liệu là $ x-y+2 $ và $ 2x-2y+1≥3 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức $ F\left ( { x;y } \right )=x-3y $ với $ x,y $ thỏa mãn mẫu số liệu trên.

Do số giá trị của mẫu số liệu bằng 4 là số chẵn và có trung vị là $ x-y+2=\frac { \left ( { 2x-2y+1 } \right )+3 } { 2 } $ nên $ 3 $; $ 2x-2y+1 $ là hai giá trị chính giữa của mẫu số liệu. Lại có: $ 2x-2y+1≥3 $ và $ x+y < x+y+3 $ nên mẫu số liệu sắp theo thứ tự không giảm là $ x+y $; $ 3 $; $ 2x-2y+1 $; $ x+y+3 $. Khi đó ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x+y+3≥2x-2y+1 \\ 2x-2y+1≥3 \\ x+y≤3 \\ \end{array} \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x-3y-2≤0 \\ x-y-1≥0 \\ x+y-3≤0 \\ \end{array} \end{array} \right. $ $ \left ( { * } \right ) $. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy, $vẽ các đường thẳng $ d_{ 1 } :x-3y-2=0 $, $ d_{ 2 } :x-y-1=0 $, $ d_{ 3 } :x+y-3=0 $, ta được miền nghiệm của hệ bất phương trình $ \left ( { * } \right ) $ là phần mặt phẳng tam giác $ ABC $ (kể cả biên) tô màu như hình vẽ với các đỉnh $ A\left ( { \frac { 1 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 } } \right ) $, $ B\left ( { \frac { 11 } { 4 };\frac { 1 } { 4 } } \right ) $, $ C\left ( { 2;1 } \right ) $. Ta có $ F\left ( { A } \right )=2 $, $ F\left ( { B } \right )=2 $, $ F\left ( { C } \right )=-1 $. Vậy giá trị nhỏ nhất của $ F\left ( { x;y } \right ) $ là $ -1 $, đạt tại $ \left ( { x;y } \right )=\left ( { 2;1 } \right ) $.