Bài tự luận · Bài 42
Dạng 4. Chứng minh hệ thức tổ hợp
Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 42
(CD10) Chứng minh rằng:
a) $C_n^k=C_n^{n-k}$ với $0\leq k\leq n$;
b) $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$ với $1\leq k<n$.
a) $C_n^k=C_n^{n-k}$ với $0\leq k\leq n$;
b) $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$ với $1\leq k<n$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
a) $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n!}{[n-(n-k)]!(n-k)!}=\dfrac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}=C_n^{n-k}$.
b) $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$
$=\dfrac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}+\dfrac{(n-1)!}{k![(n-1)-k]!}$
$=(n-1)!\left[\dfrac{k}{k!(n-k)!}+\dfrac{n-k}{k!(n-k)!}\right]=\dfrac{(n-1)!(k+n-k)}{k!(n-k)!}$
$=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=C_n^k$.
a) $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n!}{[n-(n-k)]!(n-k)!}=\dfrac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}=C_n^{n-k}$.
b) $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$
$=\dfrac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}+\dfrac{(n-1)!}{k![(n-1)-k]!}$
$=(n-1)!\left[\dfrac{k}{k!(n-k)!}+\dfrac{n-k}{k!(n-k)!}\right]=\dfrac{(n-1)!(k+n-k)}{k!(n-k)!}$
$=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=C_n^k$.