Bài tập nâng cao · Bài 2
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 2
Cho tập hợp $A=\{0;1;2;3;4;5;6;7\}$. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số của tập $A$ mà chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$.
Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6. Suy ra $a_6\in\{1;3;5;7\}$ và $a_3\in\{0;6\}$.
● Trường hợp 1. Với $a_3=0$: chữ số $a_6$ có 4 cách chọn, $a_1$ có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_5^3$ cách chọn. Do đó trong trường hợp này có $4\cdot 6\cdot A_5^3$ số.
● Trường hợp 2. Với $a_3=6$: chữ số $a_6$ có 4 cách chọn, $a_1$ có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_5^3$ cách chọn. Do đó trong trường hợp này có $4\cdot 5\cdot A_5^3$ số.
Vậy số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $4\cdot 6\cdot A_5^3+4\cdot 5\cdot A_5^3=2640$.
Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6. Suy ra $a_6\in\{1;3;5;7\}$ và $a_3\in\{0;6\}$.
● Trường hợp 1. Với $a_3=0$: chữ số $a_6$ có 4 cách chọn, $a_1$ có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_5^3$ cách chọn. Do đó trong trường hợp này có $4\cdot 6\cdot A_5^3$ số.
● Trường hợp 2. Với $a_3=6$: chữ số $a_6$ có 4 cách chọn, $a_1$ có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_5^3$ cách chọn. Do đó trong trường hợp này có $4\cdot 5\cdot A_5^3$ số.
Vậy số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $4\cdot 6\cdot A_5^3+4\cdot 5\cdot A_5^3=2640$.