Như hình, có hai đồ thị $y = 2^{x+1}$, $y = 2^{-x+1}$ và ba điểm $A(-1; 1)$, $B(1; 1)$, $C(0; 2)$. Với số thực $k$ thỏa mãn $1 < k < 2$, gọi - $D$ là giao điểm của $y = 2^{x+1}$ và đường thẳng $y = k$, - $E$ là giao điểm của $y = 2^{-x+1}$ và $y = k$, - $F$ là giao điểm của $y = 2^{x+1}$ và đường thẳng $y = 2k$, - $G$ là giao điểm của $y = 2^{-x+1}$ và $y = 2k$. Khi diện tích tứ giác $ABED$ bằng diện tích tam giác $CFG$, giá trị của $k \cdot \sqrt[3]{2}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Tại $D$ ta có: $$ k = 2^{x+1} \Leftrightarrow \log_{2} k = x + 1 \Rightarrow x_{D} = \log_{2} k - 1 = \log_{2} \Big( \frac{k}{2} \Big) \Rightarrow x_{E} = -\log_{2} \Big( \frac{k}{2} \Big) $$ Tại $F$ ta có: $$ 2k = 2^{x+1} \Rightarrow k = 2^{x} \Leftrightarrow x_{F} = \log_{2} k \Rightarrow x_{G} = -\log_{2} k $$ Ta có: $$ S_{ABED} = \frac{1}{2} \Big[ 2 - 2\log_{2} \Big( \frac{k}{2} \Big) \Big] \cdot (k - 1) = \Big[ 1 - \log_{2} \Big( \frac{k}{2} \Big) \Big] (k - 1) $$ và $$ S_{CFG} = \frac{1}{2} \cdot 2\log_{2} k \cdot (2k - 2) = 2\log_{2} k \cdot (k - 1) $$ Yêu cầu bài toán diện tích tứ giác $ABED$ bằng diện tích tam giác $CFG$, hay: $$ 1 - \log_{2} k + 1 = 2\log_{2} k \Leftrightarrow \log_{2} k = \frac{2}{3} \Rightarrow k = 2^{\frac{2}{3}} $$ vậy $k \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2$.