Bài tập nâng cao · Bài 1
Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học a) Định lí là những mệnh đề đúng: Định lí thường được phát biểu dưới dạng "$\forall x\in X, P(x)\Rightarrow Q(x)$". Trong đó $P(x)$ và $Q(x)$ là các mệnh đề chứa biến, $X$ là một tập hợp nào đó. b) Phép chứng minh trực tiếp - Giả thiết rằng $x\in X$ và mệnh đề $P(x)$ đúng. - Dùng các suy luận và các kiến thức toán học đã biết để chỉ ra rằng mệnh đề $Q(x)$ đúng. c) Phương pháp chứng minh phản chứng - Giả sử tồn tại $x_0\in X$ sao cho $P(x_0)$ đúng và $Q(x_0)$ sai. - Dùng các suy luận và các kiến thức Toán học đã biết để chỉ ra mâu thuẫn. d) Điều kiện cần. Điều kiện đủ Cho định lí dạng "$\forall x\in X, P(x)\Rightarrow Q(x)$" (1). Ta có $P(x)$ được gọi là giả thiết của định lí, $Q(x)$ được gọi là kết luận của định lí. Ta còn nói - $P(x)$ là điều kiện đủ để có $Q(x)$. - $Q(x)$ là điều kiện cần để có $P(x)$. e) Định lí đảo. Điều kiện cần và đủ. Mệnh đề "$\forall x\in X, Q(x)\Rightarrow P(x)$" (2) được gọi là mệnh đề đảo của định lí (1), nếu mệnh đề (2) đúng thì (2) được gọi là định lí đảo và (1) được gọi là định lí thuận. Định lí thuận và đảo tạo thành định lí "$\forall x\in X, P(x)\Leftrightarrow Q(x)$". Ta nói "$P(x)$ là điều kiện cần và đủ để có $Q(x)$". Ta còn nói "$P(x)$ nếu và chỉ nếu $Q(x)$" hay "Điều kiện cần và đủ để có $P(x)$ là $Q(x)$".
Bài tập nâng cao Mệnh đề · Bài 1
Các mệnh đề sau đúng hay sai? Giải thích. Tìm mệnh đề phủ định.
a) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{3}+11n$ chia hết cho 6.
b) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{3}-7n$ chia hết cho 6.
c) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{5}-5n^{3}+4n$ chia hết cho 120.
d) $\forall n\in \mathbb{N}^{*}, n^{2}+n+1$ là số nguyên tố.
e) $\forall n\in \mathbb{N}^{*}, n^{2}+n+1$ là số lẻ.
f) $\forall n\in \mathbb{N}^{*}, 1+2+\ldots+n$ không chia hết cho 11.
g) Tổng $n$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $n$.
h) Tổng $n$ số nguyên lẻ liên tiếp chia hết cho $n$.
i) Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.
j) Phương trình $ax^{2}+bx+c=0\,(a\neq 0)$ có không quá hai nghiệm.
k) $\exists x\in \mathbb{Q}, x^{2}+x-1=0$.
l) $\forall x\in \mathbb{R}, x^{4}-x+1>0$.
m) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+1$ không chia hết cho 8.
n) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9.
o) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+11n+39$ không chia hết cho 49.
p) Nếu $a$ là số nguyên lẻ thì $a^{4}-1$ chia hết cho 8.
q) $\forall a\in \mathbb{Z}, a^{4}$ chia cho 8 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
r) Cho tập $A$ gồm những số tự nhiên chia cho 3 dư 1, $B$ là tập những số tự nhiên chia cho 4 dư 1. Ta luôn có $A\cap B=\emptyset$.
a) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{3}+11n$ chia hết cho 6.
b) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{3}-7n$ chia hết cho 6.
c) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{5}-5n^{3}+4n$ chia hết cho 120.
d) $\forall n\in \mathbb{N}^{*}, n^{2}+n+1$ là số nguyên tố.
e) $\forall n\in \mathbb{N}^{*}, n^{2}+n+1$ là số lẻ.
f) $\forall n\in \mathbb{N}^{*}, 1+2+\ldots+n$ không chia hết cho 11.
g) Tổng $n$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $n$.
h) Tổng $n$ số nguyên lẻ liên tiếp chia hết cho $n$.
i) Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.
j) Phương trình $ax^{2}+bx+c=0\,(a\neq 0)$ có không quá hai nghiệm.
k) $\exists x\in \mathbb{Q}, x^{2}+x-1=0$.
l) $\forall x\in \mathbb{R}, x^{4}-x+1>0$.
m) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+1$ không chia hết cho 8.
n) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9.
o) $\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+11n+39$ không chia hết cho 49.
p) Nếu $a$ là số nguyên lẻ thì $a^{4}-1$ chia hết cho 8.
q) $\forall a\in \mathbb{Z}, a^{4}$ chia cho 8 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
r) Cho tập $A$ gồm những số tự nhiên chia cho 3 dư 1, $B$ là tập những số tự nhiên chia cho 4 dư 1. Ta luôn có $A\cap B=\emptyset$.
Xem lời giải
Lời giải
a) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{3}+11n$ chia hết cho 6". Mệnh đề đúng vì:
$n^{3}+11n=n^{3}-n+12n=n(n-1)(n+1)+12n$ chia hết cho 6.
b) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{3}-7n$ chia hết cho 6". Mệnh đề đúng vì:
$n^{3}-7n=(n^{3}-n)-6n=(n-1)n(n+1)-6n$ chia hết cho 6.
c) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{5}-5n^{3}+4n$ chia hết cho 120". Mệnh đề đúng vì:
$n^{5}-5n^{3}+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ chia hết cho 120.
d) "$\forall n\in \mathbb{N}^{*}, n^{2}+n+1$ là số nguyên tố". Mệnh đề sai với $n=4$.
e) "$\forall n\in \mathbb{N}^{*}, n^{2}+n+1$ là số lẻ". Mệnh đề đúng vì $n^{2}+n+1=n(n+1)+1$ không chia hết cho 2.
f) "$\forall n\in \mathbb{N}^{*}, 1+2+\ldots+n$ không chia hết cho 11". Mệnh đề sai với $n=11$.
g) "Tổng $n$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $n$". Mệnh đề sai vì $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ chia hết cho $n$ khi chỉ khi $n+1$ là số chẵn, hay $n$ là số lẻ. Vậy mệnh đề sai với $n=2$.
h) "Tổng $n$ số nguyên lẻ liên tiếp chia hết cho $n$". Mệnh đề đúng vì:
$1+3+\ldots+(2n-1)=\frac{(1+2n-1)+(3+2n-3)+\ldots+(2n-1+1)}{2}$,
hay $1+3+\ldots+(2n-1)=\frac{2n\cdot n}{2}=n^{2}$ chia hết cho $n$.
i) "Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ". Mệnh đề đúng vì:
Giả sử tồn tại số nguyên tố lớn hơn 2 là số chẵn thì nó có ít nhất ba ước nguyên dương phân biệt là 1, 2 và chính nó. Vậy ta có mâu thuẫn.
j) "Phương trình $ax^{2}+bx+c=0\,(a\neq 0)$ có không quá hai nghiệm". Mệnh đề đúng vì:
Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có ít nhất ba nghiệm thì đa thức $ax^{2}+bx+c$ có bậc ít nhất ba. Vậy ta có mâu thuẫn.
k) "$\exists x\in \mathbb{Q}, x^{2}+x-1=0$". Mệnh đề sai vì phương trình $x^{2}+x-1=0$ chỉ có hai nghiệm vô tỉ phân biệt $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.
l) "$\forall x\in \mathbb{R}, x^{4}-x+1>0$". Mệnh đề đúng vì:
$x^{4}-x+1=\left(x^{4}-x^{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(x^{2}-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=\left(x^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}>0$.
m) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+1$ không chia hết cho 8". Mệnh đề đúng vì:
Giả sử $\exists n\in \mathbb{N}, n^{2}+1$ chia hết cho 8. Khi đó $n$ lẻ. Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1, $n=8k\pm 1$ thì $n^{2}+1=8\left(8k^{2}\pm 2k\right)+2$ không chia hết cho 8.
Trường hợp 2, $n=8k\pm 3$ thì $n^{2}+1=8\left(8k^{2}\pm 6k+1\right)+2$ không chia hết cho 8.
Vậy ta có mâu thuẫn.
n) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9". Mệnh đề đúng vì:
Cách 1: Xét ba trường hợp $n=3k, 3k+1, 3k+2$.
Cách 2 (phản chứng): Giả sử $n^{2}+n+1$ chia hết cho 9, suy ra $n^{2}+n+1$ chia hết cho 3 hay $n^{2}+n+1=(n+2)(n-1)+3\vdots 3\Rightarrow (n+2)(n-1)\vdots 3$. Do 3 là số nguyên tố nên hoặc $n+2$ hoặc $n-1$ chia hết cho 3 mà $(n+2)-(n-1)=3\vdots 3$ nên $n+2$ và $n-1$ đồng thời chia hết cho 3, suy ra $(n+2)(n-1)\vdots 9$. Mặt khác, theo giả sử thì $n^{2}+n+1=(n+2)(n-1)+3\vdots 9\Rightarrow 3\vdots 9$ (mâu thuẫn).
Cách 3 (phản chứng): Giả sử $n^{2}+n+1$ chia hết cho 9, suy ra $n^{2}+n+1=9k\,(k\in \mathbb{N})$ tức là phương trình $n^{2}+n+1-9k=0$ phải có nghiệm tự nhiên $n$. Ta có $\Delta=3(12k-1)$. Nhận xét $\Delta\vdots 3$ nhưng $(12k-1)\not\vdots 3$ nên $\Delta\not\vdots 3^{2}$. Suy ra $\Delta$ không là số chính phương. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên nên $n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9.
o) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+11n+39$ không chia hết cho 49". Mệnh đề đúng vì:
Giả sử $\exists n\in \mathbb{N}, n^{2}+11n+39$ chia hết cho 49. Ta có $\left(n^{2}+4n+4\right)+7(n+5)$ chia hết cho 7 nên $(n+2)^{2}$ chia hết cho 7, hay $n+2$ chia hết cho 7.
Đặt $n=7k+5, k\in \mathbb{N}$ thì $n^{2}+11n+39=49\left(k^{2}+3k+2\right)+21$ không chia hết cho 49. Vậy ta có mâu thuẫn.
p) "Nếu $a$ là số nguyên lẻ thì $a^{4}-1$ chia hết cho 8". Mệnh đề đúng vì: $a^{4}-1=(a-1)(a+1)\left(a^{2}+1\right)$, trong đó $a-1; a+1; a^{2}+1$ là các số chẵn nên $\left(a^{4}-1\right)\vdots 8$.
q) "$\forall a\in \mathbb{Z}, a^{4}$ chia cho 8 chỉ có thể dư 0 hoặc 1". Mệnh đề đúng vì:
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: $a=2k$ thì $a^{4}=16k^{4}$ chia cho 8 dư 0.
Trường hợp 2: $a=2k+1$ thì $a^{4}=8\left(2k^{4}+4k^{3}+3k^{2}+k\right)+1$ chia cho 8 dư 1.
r) "Cho tập $A$ gồm những số tự nhiên chia cho 3 dư 1, $B$ là tập những số tự nhiên chia cho 4 dư 1. Ta luôn có $A\cap B=\emptyset$". Mệnh đề sai vì:
Giả sử $3k+1=4n+1\Leftrightarrow 3k=4n$, ta chọn được $k=4, n=3$. Khi đó $13\in A\cap B$.
$n^{3}+11n=n^{3}-n+12n=n(n-1)(n+1)+12n$ chia hết cho 6.
b) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{3}-7n$ chia hết cho 6". Mệnh đề đúng vì:
$n^{3}-7n=(n^{3}-n)-6n=(n-1)n(n+1)-6n$ chia hết cho 6.
c) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{5}-5n^{3}+4n$ chia hết cho 120". Mệnh đề đúng vì:
$n^{5}-5n^{3}+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ chia hết cho 120.
d) "$\forall n\in \mathbb{N}^{*}, n^{2}+n+1$ là số nguyên tố". Mệnh đề sai với $n=4$.
e) "$\forall n\in \mathbb{N}^{*}, n^{2}+n+1$ là số lẻ". Mệnh đề đúng vì $n^{2}+n+1=n(n+1)+1$ không chia hết cho 2.
f) "$\forall n\in \mathbb{N}^{*}, 1+2+\ldots+n$ không chia hết cho 11". Mệnh đề sai với $n=11$.
g) "Tổng $n$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $n$". Mệnh đề sai vì $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ chia hết cho $n$ khi chỉ khi $n+1$ là số chẵn, hay $n$ là số lẻ. Vậy mệnh đề sai với $n=2$.
h) "Tổng $n$ số nguyên lẻ liên tiếp chia hết cho $n$". Mệnh đề đúng vì:
$1+3+\ldots+(2n-1)=\frac{(1+2n-1)+(3+2n-3)+\ldots+(2n-1+1)}{2}$,
hay $1+3+\ldots+(2n-1)=\frac{2n\cdot n}{2}=n^{2}$ chia hết cho $n$.
i) "Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ". Mệnh đề đúng vì:
Giả sử tồn tại số nguyên tố lớn hơn 2 là số chẵn thì nó có ít nhất ba ước nguyên dương phân biệt là 1, 2 và chính nó. Vậy ta có mâu thuẫn.
j) "Phương trình $ax^{2}+bx+c=0\,(a\neq 0)$ có không quá hai nghiệm". Mệnh đề đúng vì:
Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có ít nhất ba nghiệm thì đa thức $ax^{2}+bx+c$ có bậc ít nhất ba. Vậy ta có mâu thuẫn.
k) "$\exists x\in \mathbb{Q}, x^{2}+x-1=0$". Mệnh đề sai vì phương trình $x^{2}+x-1=0$ chỉ có hai nghiệm vô tỉ phân biệt $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.
l) "$\forall x\in \mathbb{R}, x^{4}-x+1>0$". Mệnh đề đúng vì:
$x^{4}-x+1=\left(x^{4}-x^{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(x^{2}-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=\left(x^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}>0$.
m) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+1$ không chia hết cho 8". Mệnh đề đúng vì:
Giả sử $\exists n\in \mathbb{N}, n^{2}+1$ chia hết cho 8. Khi đó $n$ lẻ. Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1, $n=8k\pm 1$ thì $n^{2}+1=8\left(8k^{2}\pm 2k\right)+2$ không chia hết cho 8.
Trường hợp 2, $n=8k\pm 3$ thì $n^{2}+1=8\left(8k^{2}\pm 6k+1\right)+2$ không chia hết cho 8.
Vậy ta có mâu thuẫn.
n) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9". Mệnh đề đúng vì:
Cách 1: Xét ba trường hợp $n=3k, 3k+1, 3k+2$.
Cách 2 (phản chứng): Giả sử $n^{2}+n+1$ chia hết cho 9, suy ra $n^{2}+n+1$ chia hết cho 3 hay $n^{2}+n+1=(n+2)(n-1)+3\vdots 3\Rightarrow (n+2)(n-1)\vdots 3$. Do 3 là số nguyên tố nên hoặc $n+2$ hoặc $n-1$ chia hết cho 3 mà $(n+2)-(n-1)=3\vdots 3$ nên $n+2$ và $n-1$ đồng thời chia hết cho 3, suy ra $(n+2)(n-1)\vdots 9$. Mặt khác, theo giả sử thì $n^{2}+n+1=(n+2)(n-1)+3\vdots 9\Rightarrow 3\vdots 9$ (mâu thuẫn).
Cách 3 (phản chứng): Giả sử $n^{2}+n+1$ chia hết cho 9, suy ra $n^{2}+n+1=9k\,(k\in \mathbb{N})$ tức là phương trình $n^{2}+n+1-9k=0$ phải có nghiệm tự nhiên $n$. Ta có $\Delta=3(12k-1)$. Nhận xét $\Delta\vdots 3$ nhưng $(12k-1)\not\vdots 3$ nên $\Delta\not\vdots 3^{2}$. Suy ra $\Delta$ không là số chính phương. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên nên $n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9.
o) "$\forall n\in \mathbb{N}, n^{2}+11n+39$ không chia hết cho 49". Mệnh đề đúng vì:
Giả sử $\exists n\in \mathbb{N}, n^{2}+11n+39$ chia hết cho 49. Ta có $\left(n^{2}+4n+4\right)+7(n+5)$ chia hết cho 7 nên $(n+2)^{2}$ chia hết cho 7, hay $n+2$ chia hết cho 7.
Đặt $n=7k+5, k\in \mathbb{N}$ thì $n^{2}+11n+39=49\left(k^{2}+3k+2\right)+21$ không chia hết cho 49. Vậy ta có mâu thuẫn.
p) "Nếu $a$ là số nguyên lẻ thì $a^{4}-1$ chia hết cho 8". Mệnh đề đúng vì: $a^{4}-1=(a-1)(a+1)\left(a^{2}+1\right)$, trong đó $a-1; a+1; a^{2}+1$ là các số chẵn nên $\left(a^{4}-1\right)\vdots 8$.
q) "$\forall a\in \mathbb{Z}, a^{4}$ chia cho 8 chỉ có thể dư 0 hoặc 1". Mệnh đề đúng vì:
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: $a=2k$ thì $a^{4}=16k^{4}$ chia cho 8 dư 0.
Trường hợp 2: $a=2k+1$ thì $a^{4}=8\left(2k^{4}+4k^{3}+3k^{2}+k\right)+1$ chia cho 8 dư 1.
r) "Cho tập $A$ gồm những số tự nhiên chia cho 3 dư 1, $B$ là tập những số tự nhiên chia cho 4 dư 1. Ta luôn có $A\cap B=\emptyset$". Mệnh đề sai vì:
Giả sử $3k+1=4n+1\Leftrightarrow 3k=4n$, ta chọn được $k=4, n=3$. Khi đó $13\in A\cap B$.