Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là bất phương trình có một trong các dạng $ax + by + c < 0$; $ax + by + c > 0$; $ax + by + c \leq 0$; $ax + by + c \geq 0$, trong đó $a, b, c$ là những số cho trước; $a, b$ không đồng thời bằng 0 và $x, y$ là các ẩn.

Xét bất phương trình $ax + by + c < 0$. Mỗi cặp số $(x_0; y_0)$ thoả mãn $ax_0 + by_0 + c < 0$ gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
Chú ý: Nghiệm của các bất phương trình $ax + by + c > 0$, $ax + by + c \leq 0$, $ax + by + c \geq 0$ được định nghĩa tương tự.

- Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp các điểm $(x_0; y_0)$ sao cho $ax_0 + by_0 + c < 0$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0$.
- Để biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, ta làm như sau:
+ Bước 1: Trên mặt phẳng $Oxy$, vẽ đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$.
+ Bước 2: Lấy một điểm $(x_0; y_0)$ không thuộc $\Delta$. Tính $ax_0 + by_0 + c$.
+ Bước 3: Kết luận
- Nếu $ax_0 + by_0 + c < 0$ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ $\Delta$) chứa điểm $(x_0; y_0)$.
- Nếu $ax_0 + by_0 + c > 0$ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ $\Delta$) không chứa điểm $(x_0; y_0)$.
Chú ý: Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng $ax + by + c \leq 0$ (hoặc $ax + by + c \geq 0$) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0$ (hoặc $ax + by + c > 0$) kể cả bờ.