Hàm số bậc hai theo biến $x$ là hàm số cho bởi công thức có dạng $y=f(x)=ax^{2}+bx+c$, với $a,b,c$ là các số thực và $a$ khác 0.
Tập xác định của hàm số bậc hai là $\mathbb{R}$.
2. Đồ thị hàm số bậc hai
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đồ thị hàm số bậc hai $y=ax^{2}+bx+c$ (với $a\neq 0$) là một parabol $(P)$:
- Có đỉnh $S$ với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}$, tung độ $y_S=-\frac{\Delta}{4a}$;
- Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh $S$ và song song với trục $Oy$ nếu $b\neq 0$, trùng với trục $Oy$ nếu $b=0$);
- Có bề lõm quay lên trên nếu $a>0$, quay xuống dưới nếu $a<0$;
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $c$, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ $(0;c)$.
Chú ý:
- Nếu $b=2b'$ thì $(P)$ có đỉnh $S\left( -\frac{b'}{a};-\frac{\Delta'}{a} \right)$ với $\Delta'=b'^{2}-ac$.
- Nếu phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì đồ thị hàm số bậc hai $y=ax^{2}+bx+c$ cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này
- Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai $y=ax^{2}+bx+c$ (với $a\neq 0$):
1) Xác định toạ độ đỉnh $S\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a} \right)$.
2) Vẽ trục đối xứng $d$ là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$.
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm $A(0;c)$) và giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có).
Xác định thêm điểm đối xứng với $A$ qua trục đối xứng $d$, là điểm $B\left( \frac{-b}{a};c \right)$.
4) Vẽ parabol có đỉnh $S$, có trục đối xứng $d$, đi qua các điểm tìm được.
3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai $y=ax^{2}+bx+c$ (với $a\neq 0$), ta có bảng tóm tắt về sự biến thiên của hàm số này như sau:
Trường hợp $a>0$: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;\frac{-b}{2a} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( \frac{-b}{2a};+\infty \right)$. Bảng biến thiên:
Trường hợp $a<0$: Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\frac{-b}{2a} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{-b}{2a};+\infty \right)$. Bảng biến thiên:
4. Bảng tóm tắt tính chất hàm số bậc hai nhìn từ đồ thị
Khi quan sát đồ thị hàm số bậc hai $y=ax^{2}+bx+c$ (với $a\neq 0$), đặc biệt là đỉnh $S$ và hướng quay bề lõm của parabol, ta có thể nhận biết một số tính chất của hàm số như sau:
Trường hợp $a>0$:
- Về giá trị nhỏ nhất/ giá trị lớn nhất: Mọi điểm trên đồ thị đều có tung độ lớn hơn hoặc bằng tung độ của đỉnh $S$ nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là $y=y_S$ (khi $x=x_S$).
- Về tập giá trị: Hàm số lấy mọi giá trị lớn hơn hoặc bằng $y_S$ nên $T=\left[ y_S;+\infty \right)$.
- Về tính biến thiên: Từ trái sang phải, nhánh bên trái đồ thị đi xuống tới đỉnh $S$ rồi sau đó đi lên ở nhánh bên phải. Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;x_S \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( x_S;+\infty \right)$.
Trường hợp $a<0$:
- Về giá trị nhỏ nhất/ giá trị lớn nhất: Mọi điểm trên đồ thị đều có tung độ nhỏ hơn hoặc bằng tung độ của đỉnh $S$ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là $y=y_S$ (khi $x=x_S$).
- Về tập giá trị: Hàm số lấy mọi giá trị nhỏ hơn hoặc bằng $y_S$ nên $T=\left( -\infty ;y_S \right]$.
- Về tính biến thiên: Từ trái sang phải, nhánh bên trái đồ thị đi lên tới đỉnh $S$ rồi sau đó đi xuống ở nhánh bên phải. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;x_S \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( x_S;+\infty \right)$.
