Giả sử $x$ và $y$ là hai đại lượng biến thiên và $x$ nhận giá trị thuộc tập số $D$.
Nếu với mỗi giá trị $x$ thuộc $D$, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng $y$ thuộc tập hợp số thực $\mathbb{R}$ thì ta có một hàm số.
Ta gọi $x$ là biến số và $y$ là hàm số của $x$.
Tập hợp $D$ được gọi là tập xác định của hàm số.
Tập hợp $T$ gồm tất cả các giá trị $y$ (tương ứng với $x$ thuộc $D$) gọi là tập giá trị của hàm số.
Chú ý:
- Kí hiệu $f(x)$ để chỉ giá trị $y$ tương ứng với $x$, nên hàm số còn được viết là $y=f(x)$.
- Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.
2. Đồ thị hàm số
Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D$.
Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đồ thị $(C)$ của hàm số là tập hợp tất cả các điểm $M(x;y)$ với $x \in D$ và $y=f(x)$.
Vậy $(C)=\{ M(x;f(x)) \mid x \in D \}$.
Chú ý:
Điểm $M(x_M;y_M)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f(x)$ khi và chỉ khi $x_M \in D$ và $y_M=f(x_M)$.
3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Với hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$, ta nói:
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(a;b)$ nếu $\forall x_1, x_2 \in (a;b), x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).$
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(a;b)$ nếu $\forall x_1, x_2 \in (a;b), x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2).$
Hàm số $f(x)$ đồng biến $(a;b)$:
Định nghĩa: $\forall x_1, x_2 \in (a;b), \; x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
Bảng biến thiên:
Đồ thị minh họa:
Hàm số $f(x)$ nghịch biến $(a;b)$:
Định nghĩa: $\forall x_1, x_2 \in (a;b), \; x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
Bảng biến thiên:
Đồ thị minh họa:
Nhận xét:
Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng $(a;b)$ thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng $(a;b)$ thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.
