Lý thuyết Mệnh đề

- Mệnh đề (bên sách Cánh diều chỉ đề cập đến mệnh đề toán học) là một khẳng định đúng hoặc sai.
Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.
Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
- Mệnh đề chứa biến không phải là mệnh đề, nhưng khi thay biến bởi giá trị nào đó thì nó trở thành mệnh đề.
Chú ý: Người ta thường sử dụng các chữ cái in hoa $P, Q, R, \ldots$ để kí hiệu mệnh đề.

Phủ định của mệnh đề $P$ là mệnh đề “Không phải $P$”, kí hiệu $\overline{P}$. Mệnh đề $\overline{P}$ đúng khi $P$ sai và $\overline{P}$ sai khi $P$ đúng.

- Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu $P \Rightarrow Q$. Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
- Nếu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ đúng (định lí) thì ta nói:
+ $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lí;
+ $P$ là điều kiện đủ để có $Q$;
+ $Q$ là điều kiện cần để có $P$.
Chú ý:
a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ còn được phát biểu là "$P$ kéo theo $Q$" hoặc "Từ $P$ suy ra $Q$".
b) Để xét tính đúng sai của mệnh đề $P \Rightarrow Q$, ta chỉ cần xét trường hợp $P$ đúng. Khi đó, nếu $Q$ đúng thì mệnh đề đúng, nếu $Q$ sai thì mệnh đề sai.

- Mệnh đề đảo của mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề $Q \Rightarrow P$.
Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
- Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng thì ta nói $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.
- Khi đó, $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$ (hay $Q$ là điều kiện cần và đủ để có $P$).
Chú ý: Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai.

- Mệnh đề "$\forall x \in M, P(x)$" đúng nếu với mọi $x_0 \in M$, $P(x_0)$ là mệnh đề đúng.
- Mệnh đề "$\exists x \in M, P(x)$" đúng nếu có $x_0 \in M$ sao cho $P(x_0)$ là mệnh đề đúng.