Các số đặc trưng đo độ phân tán (không ghép nhóm) — Kiến thức cần nhớ
1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
Khoảng biến thiên, kí hiệu là $R$, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.
Ý nghĩa. Khoảng biến thiên dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Ví dụ 1: Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10 A được cho như sau:
Tổ 1: 7 8 8 9 8 8 8
Tổ 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8.
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ có như nhau không?
b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu. Căn cứ trên chỉ số này, các bạn tổ nào học đồng đều hơn?
Lời giải:
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ đều bằng 8.
b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 7; 9. Do đó khoảng biến thiên là: $R_1 = 9 - 7 = 2$.
Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 6; 10. Do đó khoảng biến thiên là: $R_2 = 10 - 6 = 4$.
Do $R_2 > R_1$ nên ta nói các bạn Tổ 1 học đều hơn các bạn Tổ 2.
Nhận xét. Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là $\Delta_Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$.
Ý nghĩa. Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Chú ý. Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.
Ví dụ 2: Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày:
7 8 22 20 15 18 19 13 11.
Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Lời giải:
Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
7 8 11 13 15 18 19 20 22.
Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa $Q_2 = 15$.
Nửa số liệu bên trái là $7, 8, 11, 13$ gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8, 11.
Do đó, $Q_1 = (8+11):2 = 9{,}5$.
Nửa số liệu bên phải là $18, 19, 20, 22$ gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 19, 20.
Do đó, $Q_3 = (19+20):2 = 19{,}5$.
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là $\Delta_Q = 19{,}5 - 9{,}5 = 10$.
2. Phương sai và độ lệch chuẩn
Phương sai là giá trị $s^2 = \frac{\left(x_1 - \bar{x}\right)^2 + \left(x_2 - \bar{x}\right)^2 + \ldots + \left(x_n - \bar{x}\right)^2}{n}$
Căn bậc hai của phương sai, $s = \sqrt{s^2}$, được gọi là độ lệch chuẩn
Chú ý. Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu:
$\widehat{s}^2 = \frac{\left(x_1 - \bar{x}\right)^2 + \left(x_2 - \bar{x}\right)^2 + \ldots + \left(x_n - \bar{x}\right)^2}{n-1}$
Ý nghĩa. Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn.
Ví dụ 3: Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường Trung học:
43 45 46 41 40.
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Lời giải:
Số trung bình của mẫu số liệu là: $\bar{x} = \frac{43+45+46+41+40}{5} = 43$.
Ta có bảng sau:
Giá trị | Độ lệch | Bình phương độ lệch
43 | $43-43=0$ | 0
45 | $45-43=2$ | 4
46 | $46-43=3$ | 9
41 | $41-43=-2$ | 4
40 | $40-43=-3$ | 9
| Tổng | 26
Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên $n=5$. Do đó phương sai là: $s^2 = \frac{26}{5} = 5{,}2$.
Độ lệch chuẩn là: $s = \sqrt{5{,}2} \approx 2{,}28$.
3. Phát hiện số liệu bất thường hoặc không chính xác bằng biểu đồ hộp
Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác. Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn hay sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này.
Các giá trị lớn hơn $Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta_Q$ hoặc bé hơn $Q_1 - 1{,}5 \cdot \Delta_Q$ được xem là giá trị bất thường.
Ví dụ 4: Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau:
0 340 70 140 200 180 210 150 100 130 140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.
Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp.
Lời giải:
Từ mẫu số liệu ta tính được $Q_1 = 135$ và $Q_3 = 205$. Do đó, khoảng tứ phân vị là:
$\Delta_Q = 205 - 135 = 70$.
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:
Ta có $Q_1 - 1{,}5 \cdot \Delta_Q = 30$ và $Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta_Q = 310$ nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là bất thường là $340$ mg (lớn hơn $310$ mg) và $0$ mg (bé hơn $30$ mg).
