Lý thuyết Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

- Mỗi tập hợp có các phần tử hoàn toàn xác định.
- Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu $\varnothing$.
- Để chỉ $a$ là phần tử của tập hợp $A$, ta viết $a \in A$; ngược lại, ta viết $a \notin A$.
- Người ta thường biểu thị tập hợp dưới dạng liệt kê các phần tử hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
Chú ý: Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta có một số chú ý sau đây:
a) Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tuỳ ý.
b) Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần.
c) Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “...” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

- $A$ là tập con của $B$ nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$, kí hiệu $A \subset B$.

Giữa các tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực) ta có quan hệ bao hàm: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Chú ý:
$+$ $A \subset A$ và $\varnothing \subset A$ với mọi tập hợp $A$.
$+$ Nếu $A$ không phải là tập con của $B$ thì ta kí hiệu $A \not\subset B$ (đọc là $A$ không chứa trong $B$ hoặc $B$ không chứa $A$).
$+$ Nếu $A \subset B$ hoặc $B \subset A$ thì ta nói $A$ và $B$ có quan hệ bao hàm.
- Hai tập hợp $A$ và $B$ gọi là bằng nhau, kí hiệu $A = B$, nếu $A \subset B$ và $B \subset A$.

Sau này ta thường sử dụng các tập con của tập số thực sau đây ($a$ và $b$ là các số thực, $a < b$)
Tên gọi và kí hiệu Tập hợp Biểu diễn trên trục số
Tập số thực $(-\infty; +\infty)$ $\mathbb{R}$

Đoạn $[a; b]$ $\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$

Khoảng $(a; b)$ $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$

Nửa khoảng $[a; b)$ $\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$

Nửa khoảng $(a; b]$ $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}$

Nửa khoảng $(-\infty; a]$ $\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq a\}$

Nửa khoảng $[a; +\infty)$ $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}$

Khoảng $(-\infty; a)$ $\{x \in \mathbb{R} \mid x < a\}$

Khoảng $(a; +\infty)$ $\{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}$

Trong các kí hiệu trên, kí hiệu $-\infty$ đọc là âm vô cực (âm vô cùng), kí hiệu $+\infty$ đọc là dương vô cực (dương vô cùng).

1. Hợp của hai tập hợp: $A \cup B = \{x \mid x \in A$ hoặc $x \in B\}$.

2. Giao của hai tập hợp: $A \cap B = \{x \mid x \in A$ và $x \in B\}$.

3. Công thức tính số phần tử
Nếu $A$ và $B$ là các tập hợp hữu hạn thì
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

4. Hiệu của hai tập hợp: $A \setminus B = \{x \mid x \in A$ và $x \notin B\}$.

5. Phần bù của tập hợp con:
$C_E A = E \setminus A = \{x \mid x \in E$ và $x \notin A\}$
($A$ là tập con của $E$).