Lý thuyết Tích của một vectơ với một số

Cho số thực $k\neq 0$ và vectơ $\vec{a}\neq \vec{0}$. Tích của số $k$ với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\vec{a}$, được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k>0$, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k<0$;
- Có độ dài bằng $|k|.|\vec{a}|$.
Quy ước: $0\vec{a}=\vec{0}$, $k\vec{0}=\vec{0}$.

Với hai vectơ bất kì $\vec{a},\vec{b}$ và hai số thực $h,k$, ta có:
- $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$; $k(\vec{a}-\vec{b})=k\vec{a}-k\vec{b}$
- $(h+k)\vec{a}=h\vec{a}+k\vec{a}$;
- $h(k\vec{a})=(hk)\vec{a}$
- $1\vec{a}=\vec{a}$; $(-1)\vec{a}=-\vec{a}$.
Nhận xét: $k\vec{a}=\vec{0}$ khi và chỉ khi $k=0$ hoặc $\vec{a}=\vec{0}$.

Nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ với điểm $M$ bất kì.

Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ với điểm $M$ bất kì.

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b}\neq \vec{0}$) cùng phương là có một số thực $k$ để $\vec{a}=k\vec{b}$.
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt $A,B,C$ thẳng hàng là có số thực $k$ để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.