Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- $180^{\circ}=\pi\,\text{rad}$
- $1\,\text{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}\approx 57^{\circ}17'45''$ và $1^{\circ}=\left(\frac{\pi}{180}\right)\text{rad}\approx 0{,}0175\,\text{rad}$.

- Cho hai tia $Ou,Ov$. Nếu tia $Om$ quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia $Ou$ đến trùng với tia $Ov$ thì ta nói: Tia $Om$ quét một góc lượng giác với tia đầu $Ou$ và tia cuối $Ov$, kí hiệu là $(Ou,Ov)$. Mỗi góc lượng giác gốc $O$ được xác định bởi tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ và số đo của góc đó.
- Nếu một góc lượng giác có số đo $\alpha^{\circ}$ (hay $\alpha$ radian) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác đó có số đo dạng: $\alpha^{\circ}+k360^{\circ}$ (hay $\alpha +k2\pi$), với $k$ là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của $k$.
- Hệ thức Chasles
Với ba tia tuỳ ý $Ou,Ov,Ow$, ta có:
$(Ou,Ov)+(Ov,Ow)=(Ou,Ow)+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).$

Trong mặt phẳng toạ độ đã được định hướng $Oxy$, lấy điểm $A(1;0)$. Đường tròn tâm $O$, bán kính $OA=1$ được gọi là đường tròn lượng giác gốc $A$.
a) Định nghĩa: Với mỗi góc lượng giác $\alpha$, lấy điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho $(OA,OM)=\alpha$ (Hình 1).
Giả sử $M$ có toạ độ $(x;y)$. Ta có: $\cos\alpha =x; \sin\alpha =y$
$\tan\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y}{x}\ (\cos\alpha =x\neq 0); \cot\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x}{y}\ (\sin\alpha =y\neq 0).$
Chú ý: Dấu của các giá trị lượng giác của góc $\alpha =(OA,OM)$ phụ thuộc vào vị trí điểm $M$ trên đường tròn lượng giác (Hình 2).
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau:

b) Tính chất
- $\cos^2\alpha +\sin^2\alpha =1$ với mọi $\alpha$;
- $\tan\alpha \cdot \cot\alpha =1$ với $\cos\alpha \neq 0, \sin\alpha \neq 0$;
- $1+\tan^2\alpha =\frac{1}{\cos^2\alpha}$ với $\cos\alpha \neq 0$
- $1+\cot^2\alpha =\frac{1}{\sin^2\alpha}$ với $\sin\alpha \neq 0$.

Hai góc đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$):
$\sin(-\alpha )=-\sin\alpha$
$\cos(-\alpha )=\cos\alpha$
$\tan(-\alpha )=-\tan\alpha$
$\cot(-\alpha )=-\cot\alpha$.
Hai góc hơn kém nhau $\pi$ ($\alpha$ và $\alpha +\pi$):
$\sin(\alpha +\pi )=-\sin\alpha$
$\cos(\alpha +\pi )=-\cos\alpha$
$\tan(\alpha +\pi )=\tan\alpha$
$\cot(\alpha +\pi )=\cot\alpha$.
Hai góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi -\alpha$):
$\sin(\pi -\alpha )=\sin\alpha$
$\cos(\pi -\alpha )=-\cos\alpha$
$\tan(\pi -\alpha )=-\tan\alpha$
$\cot(\pi -\alpha )=-\cot\alpha$.
Hai góc phụ nhau ($\alpha$ và $\frac{\pi}{2}-\alpha$):
$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$
$\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha$
$\cot\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan\alpha$.