Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu $\lim_{x\to+\infty}f(x)=y_0$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=y_0$.
Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$.
Giải
Ta có: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=3$. Tương tự, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=3$.
Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$.
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.
Giải
Ta có:
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=1$;
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\lim_{x\to-\infty}\left(-\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)=-1$.
Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$.
Nhận xét. Đồ thị hàm số $f(x)$ như Hình.
2. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Đường thẳng $x=x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty;\lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty;\lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty;\lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty$.
Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)=\dfrac{3-x}{x+2}$.
Giải
Ta có: $\lim_{x\to-2^+}f(x)=\lim_{x\to-2^+}\dfrac{3-x}{x+2}=+\infty$. Tương tự, $\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty$. Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$.
Ví dụ 4. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)=\dfrac{x^2+2}{x}$.
Giải
Ta có: $\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\dfrac{x^2+2}{x}=+\infty$. Tương tự, $\lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty$. Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=0$.
3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN
Đường thẳng $y=ax+b$ ($a\neq0$) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$
Ví dụ 5. Cho hàm số $y=f(x)=x+\dfrac{1}{x+2}$. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$.
Giải
Ta có: $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-x]=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x+2}=0$. Tương tự $\lim_{x\to-\infty}[f(x)-x]=0$.
Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$.
Chú ý. Ta biết rằng nếu đường thẳng $y=ax+b$ ($a\neq0$) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$ thì $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$.
Do đó $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]\cdot\dfrac{1}{x}=0$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}[f(x)-(ax+b)]\cdot\dfrac{1}{x}=0$.
Từ đây suy ra $a=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ hoặc $a=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$.
Khi đó, ta có $b=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax]$ hoặc $b=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-ax]$.
Ngược lại, với $a$ và $b$ xác định như trên, đường thẳng $y=ax+b$ ($a\neq0$) là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Đặc biệt, nếu $a=0$ thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
Ví dụ 6. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x+1}$.
Giải
Ta có:
$a=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x}=1$
$b=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-x]=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2x+2}{x+1}=-2$.
(Tương tự, $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1,\lim_{x\to-\infty}[f(x)-x]=-2$.)
Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-2$.
Nhận xét. Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức trong Ví dụ 6, ta viết:
$y=f(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x+1}=x-2+\dfrac{4}{x+1}$.
Ta có: $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x+1}=0$;
$\lim_{x\to-\infty}[f(x)-(x-2)]=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{4}{x+1}=0$.
Do đó, đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-2$.
